Алгебра и структуры · Линейная алгебра
В «Движениях плоскости» и «Подобиях плоскости» уже встретился характерный узор: переносы складываются, а концентрические гомотетии перемножаются — совсем как числа. Здесь мы собираем общий алгебраический каркас за этим узором: модуль над кольцом, его частные случаи (векторное пространство, алгебра), базис, координаты, линейный оператор и его матрица, кольцо матриц и сопряжённое пространство — а матрицы, напомним, умеют задавать не только движения и подобия, но и куда более сложные преобразования. В конце — сами движения и подобия, уже как линейные операторы на $\R^2$.
Любая абелева группа $\langle M,+\rangle$ становится модулем над $\Z$ ровно одним естественным способом: целое число $n$ действует на вектор повторным сложением — при $n>0$ это $n$-кратное «$v+v+\dots+v$», при $n<0$ то же самое со знаком минус, а $0*v=\vec 0$. Возьмём эту идею и абстрагируем: пусть роль $\Z$ играет произвольное кольцо $K$, а конкретная операция «сложить $n$ раз» заменяется абстрактной операцией $*$, подчинённой тем же тождествам, каким «сложить $n$ раз» подчиняется автоматически.
Пусть $M$ — некоторое множество («векторы») с операцией $+$, а $K$ — некоторое множество («числа») с операциями $+,\cdot$ и выделенным элементом $1$. Говорят, что $M$ — модуль над кольцом $K$, если задана ещё одна операция $*:K\times M\to M$ (умножение числа на вектор), причём выполнены три группы требований:
Знаки $+$ и «$\cdot$» (или короткий пробел вместо точки) здесь работают за двоих: один и тот же символ «$+$» — это и сложение векторов, и сложение чисел; один и тот же символ «$\cdot$»/пробел — и умножение числа на вектор ($*$), и умножение двух чисел. Путаницы это не создаёт, потому что тип операнда всегда виден из его обозначения. Всюду в этом материале строчные латинские буквы ($u,v,w,x,\dots$) обозначают векторы, а строчные греческие ($\lambda,\mu,\xi,\eta,\kappa,\alpha,\dots$) — числа; заглавные буквы ($K,M,V,L,W,\dots$) — кольца, пространства, операторы, матрицы.
Умножение числа на вектор мы записали как $\lambda*v$ — число слева. Если вместо этого задать операцию $v*\lambda$ (число справа) с зеркальными аксиомами, получится правый модуль; структура выше тогда для ясности называется левым модулем. Для коммутативного $K$ различие несущественно ($\lambda v$ и $v\lambda$ можно отождествить), но для некоммутативного кольца левые и правые модули — разные, хотя и родственные структуры. Всюду ниже $K$ коммутативно, так что это различие не играет роли — но полезно знать, что оно вообще есть.
Два частных случая важны настолько, что получают собственные названия.
Если $K$ — поле (числа можно ещё и делить друг на друга), модуль $M$ называется векторным (или линейным) пространством.
Если, кроме того, на $M$ задано ещё и умножение векторов $\cdot:M\times M\to M$, согласованное с $*$ тождеством $\lambda(uv)=(\lambda u)v=u(\lambda v)$, структура называется алгеброй над кольцом (или полем) $K$.
У модуля, ставшего алгеброй, третья операция взаимодействует с $*$ по тому же правилу, что мы увидим ниже для композиции линейных операторов.
В терминах «Как конструируются математические структуры» модуль — это ровно первый, алгебраический слой $\Sigma$, навешенный на голый домен $M$: внутренняя операция $+:M\times M\to M$ (это как раз пример «внутренних операций $f:M^n\to M$» из общей схемы) и внешняя операция $*:K\times M\to M$ (пример «внешних операций $R\times M\to M$» — там роль $R$ играет наше $K$). Векторное пространство и алгебра — тот же слой $\Sigma$, только богаче: у поля есть деление, у алгебры — вторая внутренняя операция. До следующих слоёв той схемы, топологического и метрического, этот материал почти не доходит — единственное исключение: в §6 ненадолго понадобится скалярное произведение, которое в той схеме уже относится к метрическому слою $\Phi$.
Пара коммутативных групп, из которых складывается кольцо $K$ в аксиоме Mod2 (сложение и умножение чисел), уже встречалась геометрически, только по отдельности: в «Подобиях плоскости» переносы плоскости композируются в точности как сложение чисел ($T_a\circ T_b=T_{a+b}$), а концентрические гомотетии — как умножение ($H_O^k\circ H_O^s=H_O^{ks}$). В §6 мы увидим, как сами движения и подобия становятся линейными операторами уже в собранной здесь рамке.
Примеры модулей, векторных пространств и алгебр
Любая абелева группа $\langle A,+\rangle$ становится $\Z$-модулем единственным способом: $n*a=\underbrace{a+\dots+a}_{n}$ при $n>0$, $(-n)*a=-(n*a)$, $0*a=\vec 0$ — аксиомы Mod1–3 выполняются автоматически, это лишь повторное применение уже имеющегося сложения. Верно и обратное: всякий $\Z$-модуль устроен только так. То есть «модуль над $\Z$» и «абелева группа» — буквально одно и то же понятие под двумя именами.
Целочисленные векторы с покомпонентным сложением и умножением на целое число — модуль, поскольку $\Z$ не поле: например, вектор $\langle1,0\rangle$ нельзя «поделить на 3» и остаться в $\Z^2$. Обычная линейная алгебра (базис, размерность в привычном смысле) сюда без оговорок не переносится.
В $K=\Z/6\Z$ числа $2$ и $3$ — делители нуля: $2\cdot3=6\equiv0$, хотя оба множителя ненулевые. Подмодуль $M=\{0,2,4\}\subset K$ (все кратные двойки) порождается элементом $2$, но система $\{2\}$ не независима: $3*2=6\equiv0$, а $3\ne0$. Дело не в неудачном выборе образующей — в $M$ всего 3 элемента, а свободный $K$-модуль ранга $r$ состоял бы из $6^r$ элементов ($1,6,36,\dots$), и $3$ среди них нет. Значит, у $M$ нет базиса вообще — корень проблемы именно в том, что $2$ делит ноль.
Многочлены с вещественными коэффициентами: складываются и умножаются на числа как векторы (пространство $\R[x]$), но их ещё можно умножать друг на друга — согласование $\lambda(pq)=(\lambda p)q=p(\lambda q)$ выполнено, значит, это алгебра над $\R$. Естественный базис — $\{1,x,x^2,\dots\}$, бесконечный.
Квадратные матрицы складываются и умножаются на числа покомпонентно (пространство), а произведение матриц даёт вторую операцию — согласованную с $*$ точно так же. Некоммутативность умножения (в отличие от $\R[x]$) — предмет §5.
Комплексные числа — двумерное вещественное векторное пространство с базисом $\{1,i\}$, а умножение комплексных чисел превращает его ещё и в алгебру над $\R$. В «Комплексных числах» это же умножение представлено $2\times2$-матрицами вида $\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}$ — конструкция II оттуда буквально совпадает с матрицей линейного оператора из §4 этой страницы.
Пусть $V$ — модуль (в частности, векторное пространство) над кольцом $K$.
Возьмём набор векторов $\{\e_i\}_{i\in I}\subset V$, индексированный произвольным множеством $I$ — конечным или бесконечным. Такой набор называется системой векторов: в отличие от множества, в системе важен сам индекс, и потому один и тот же вектор в принципе может отвечать разным индексам (повтор) — линейная независимость, определяемая ниже, такие повторы как раз исключает.
Линейная комбинация системы — это всегда конечное выражение $\xi_{i_1}\e_{i_1}+\dots+\xi_{i_n}\e_{i_n}$ с коэффициентами из $K$, где $i_1,\dots,i_n$ — произвольный конечный набор различных индексов из $I$: даже если сама система бесконечна, в каждой отдельной комбинации участвует лишь конечное число её векторов. Множество всех таких комбинаций называется линейной оболочкой системы.
Система линейно независима, если никакая её нетривиальная линейная комбинация не равна нулю.
Базисом (или базисом Гамеля) называется линейно независимая система, линейная оболочка которой совпадает со всем $V$ — то есть каждый вектор единственным образом раскладывается в линейную комбинацию векторов системы.
Слово «Гамеля» в названии подчёркивает именно то, что уже заложено в определении линейной комбинации: разложение любого вектора по базису — всегда конечная сумма, даже когда сам базис (как система) бесконечен.
Пример уже встречался: подмодуль $M=\{0,2,4\}\subset\Z/6\Z$ (пример 3, §1) базиса не имеет вовсе — корень проблемы там в делителях нуля кольца $\Z/6\Z$. Ниже, начиная с теоремы о равномощности, речь снова только о векторных пространствах (модулях над полем) — а поле по определению делителей нуля не имеет (каждый ненулевой элемент обратим), так что там, как будет видно, базис есть всегда.
Прежде чем спрашивать, все ли базисы данного пространства «одного размера», нужно убедиться, что базис вообще есть. Здесь начинается теория множеств.
У любого векторного пространства есть базис.
Доказывается леммой Цорна: рассматривается семейство всех линейно независимых подмножеств $V$, упорядоченное по включению; объединение любой цепи таких множеств снова линейно независимо (любая конкретная линейная зависимость внутри объединения использует лишь конечное число векторов, а значит, целиком лежит в каком-то одном звене цепи), поэтому лемма Цорна даёт максимальный элемент — а максимальное по включению линейно независимое множество и есть базис. Лемма Цорна равносильна аксиоме выбора (АС; об этом и других формах АС — счётный выбор, зависимый выбор — подробнее в «Уровнях формализации математического анализа»).
Связь с аксиомой выбора глубже, чем кажется: утверждение «у каждого векторного пространства есть базис» не просто следует из АС, а равносильно ей (в теории ZF без АС). Доказал это Андреас Бласс в 1984 году. Существование базиса Гамеля — не техническая деталь, а полноценная форма аксиомы выбора.
Любые два базиса одного и того же векторного пространства равномощны — даже если оба бесконечны.
Для конечных базисов доказательство элементарно и работает даже для произвольного модуля над коммутативным кольцом, не только для векторного пространства:
Лемма. В ненулевом коммутативном кольце однородная система из $m$ линейных уравнений с $n$ неизвестными при $m<n$ всегда имеет нетривиальное решение. Доказывается индукцией по $n$: при $n=2$ решение выписывается явно ($\omega_{11}\xi_1+\omega_{12}\xi_2=0$ решается парой $\xi_1=\omega_{12},\,\xi_2=-\omega_{11}$, либо тривиально, если оба коэффициента нулевые); шаг индукции исключает первую переменную из всех уравнений, кроме одного, комбинируя строки — коммутативность кольца делает эту комбинацию корректной — и применяет предположение индукции к оставшимся $m-1$ уравнениям от $n$ переменных.
Доказательство. Пусть $\e_1,\dots,\e_m$ и $\e_1',\dots,\e_n'$ — два базиса, $m<n$. Разложим второй базис по первому: $\e_j'=\sum_i \omega_{ij}\e_i$. По лемме однородная система $\sum_j \omega_{ij}\xi_j=0$ ($m$ уравнений, $n>m$ неизвестных) имеет нетривиальное решение $\xi_1^*,\dots,\xi_n^*$. Тогда $$ \sum_j \xi_j^*\e_j' = \sum_j \xi_j^*\sum_i \omega_{ij}\e_i = \sum_i\Big(\sum_j \omega_{ij}\xi_j^*\Big)\e_i = \sum_i 0\cdot\e_i = 0, $$ то есть нетривиальная комбинация $\e_1',\dots,\e_n'$ равна нулю — противоречие с их независимостью. Значит, $n>m$ невозможно; по симметрии и $m>n$ невозможно, откуда $m=n$.
Сама равномощность любых двух бесконечных базисов доказывается отдельно: каждый вектор одного базиса — конечная линейная комбинация векторов другого, поэтому каждому элементу одного базиса сопоставляется конечное подмножество другого; отсюда с помощью арифметики бесконечных кардиналов ($\kappa=\kappa\cdot\aleph_0$ для бесконечного $\kappa$ — тоже, вообще говоря, использующее AC равенство) выводится, что оба базиса имеют одинаковую мощность.
Размерностью $\dim V$ называется мощность базисного множества — по теореме выше она не зависит от того, какой именно базис выбран.
От конечных до непостроимых
Стандартный базис $\{\langle1,0,\dots\rangle,\langle0,1,0,\dots\rangle,\dots\}$ в $\R^n$; $\{1,i\}$ в $\C$ над $\R$ ($\dim=2$); матричные единицы $E_{ij}$ в $\mathrm{Mat}_n(\R)$ ($\dim=n^2$) — все эти базисы можно выписать явно, конечны, никакого выбора не требуют.
$\{1,x,x^2,x^3,\dots\}$ — каждый многочлен есть конечная (это важно — именно конечная, как и требует базис Гамеля) линейная комбинация степеней $x$. Базис явный, но бесконечный.
Забудем про умножение вещественных чисел и оставим только сложение и умножение на рациональные числа — $\R$ становится $\Q$-векторным пространством мощности континуум. Теорема выше гарантирует, что базис у него есть, но ни один такой базис нельзя предъявить явной формулой: его существование — прямое следствие АС (через лемму Цорна выше), а не конструкция. Термин «базис Гамеля» появился именно из этого примера: в 1905 году Георг Гамель использовал такой базис $\R$ над $\Q$, чтобы построить разрывное (и потому «патологическое») решение функционального уравнения Коши $f(x+y)=f(x)+f(y)$, отличное от очевидных линейных решений $f(x)=cx$ — определив $f$ по-разному на разных базисных векторах и продолжив по $\Q$-линейности.
Пусть $V$ — векторное пространство над $\R$ размерности $n$ с базисом $\e_1,\dots,\e_n$. По определению базиса каждый вектор $v\in V$ раскладывается по нему единственным образом: $v=\xi_1\e_1+\dots+\xi_n\e_n$.
Числа $\langle\xi_1,\dots,\xi_n\rangle$ называются координатами $v$ в этом базисе.
Единственность разложения — не случайность, а прямое следствие независимости базиса: если бы $v=\xi_1\e_1+\dots+\xi_n\e_n=\xi_1'\e_1+\dots+\xi_n'\e_n$, то вычитание дало бы $(\xi_1-\xi_1')\e_1+\dots+(\xi_n-\xi_n')\e_n=0$, а линейная независимость $\{\e_i\}$ вынуждает все разности быть нулевыми.
Значит, отображение $\Phi:V\to\R^n$, $\Phi(v)=\langle\xi_1,\dots,\xi_n\rangle$, — биекция. Более того, оно линейно: координаты суммы складываются, координаты $\lambda v$ умножаются на $\lambda$ — это прямо следует из аксиом векторного пространства.
Биективное линейное отображение называется изоморфизмом векторных пространств.
Всякое вещественное векторное пространство размерности $n$ изоморфно $\R^n$.
Важная оговорка: этот изоморфизм не канонический — он зависит от выбора базиса. Смените базис — и координаты того же самого вектора $v$ станут другими числами. Именно поэтому дальше (§4) матрица линейного оператора тоже будет зависеть от выбора базиса, а не быть свойством «самого» оператора.
Это тот же приём, что и обычные декартовы координаты: два неколлинеарных вектора $\e_1,\e_2$ образуют базис, любой вектор $v$ раскладывается как $v=\xi\e_1+\eta\e_2$, и пара $\langle\xi,\eta\rangle$ — координаты, знакомые по осям $Ox,Oy$ (частный случай — когда $\e_1=\langle1,0\rangle$, $\e_2=\langle0,1\rangle$, стандартный базис). Ровно эта идентификация точки $z=x+iy$ с парой вещественных координат $\langle x,y\rangle$ в базисе $\{1,i\}$ пространства $\C$ над $\R$ используется в «Комплексных числах» (конструкция I) — и негласно стоит за тем, как «Движения плоскости» и «Подобия плоскости» отождествляют точку с числом $z=x+iy$.
Пусть $V$ и $U$ — векторные пространства над одним полем $K$.
Отображение $L:V\to U$ называется линейным оператором, если оно:
Если $V=U$, говорят, что $L$ действует на пространстве $V$. Обратимые линейные операторы (те, что являются биекциями) с операцией композиции образуют группу $\mathrm{GL}(V)$ — полную линейную группу.
Подобие плоскости $z\mapsto az+b$ (или $z\mapsto a\bar z+b$ для несобственных) — не линейный оператор, а аффинное отображение: слагаемое $b$ сдвигает начало координат, и при $b\ne0$ однородность нарушается ($L(0)=b\ne0$). Но его линейная часть — отображение $z\mapsto az$ (соотв. $z\mapsto a\bar z$), получаемое отбрасыванием сдвига, — уже линейный оператор на $\R^2\cong\C$: аддитивность и однородность для вещественных коэффициентов прямо следуют из арифметики $\C$, а разность образов двух точек зависит только от разности самих точек: $(az_2+b)-(az_1+b)=a(z_2-z_1)$.
Именно эту линейную часть мы сейчас снабдим матрицей — полное соответствие «оператор ↔ вид подобия» дальше, в §6.
Пусть $\e_1,\e_2$ — базис плоскости $V$. По линейности оператор $L:V\to V$ полностью определяется тем, куда он переводит базисные векторы: если $v=\xi\e_1+\eta\e_2$, то $$ L(v)=\xi L(\e_1)+\eta L(\e_2)=\xi w_1+\eta w_2,\qquad w_1=L(\e_1),\ w_2=L(\e_2). $$ Разложим $w_1,w_2$ снова по тому же базису: $w_1=\omega_{11}\e_1+\omega_{21}\e_2$, $w_2=\omega_{12}\e_1+\omega_{22}\e_2$, и составим из координатных столбцов матрицу $$ W=\begin{pmatrix}\omega_{11}&\omega_{12}\\\omega_{21}&\omega_{22}\end{pmatrix}. $$
Матрица $W$ называется матрицей линейного оператора $L$ в базисе $\{\e_i\}$ — столбцы суть координаты образов базисных векторов.
Прямая проверка показывает, что координаты $L(v)$ получаются из координат $v$ обычным умножением матрицы на вектор-столбец: $$ \begin{pmatrix}\omega_{11}&\omega_{12}\\\omega_{21}&\omega_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\xi\\\eta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\xi\omega_{11}+\eta\omega_{12}\\\xi\omega_{21}+\eta\omega_{22}\end{pmatrix}. $$
Иначе говоря: через изоморфизм $\Phi:V\to\R^n$ из §3 действие абстрактного оператора $L$ на $V$ становится действием конкретной матрицы $W$ на $\R^n$ — именно эта матрица и делает алгебру операторов вычислимой.
Матрицы простейших операторов на плоскости (стандартный базис)
$$R_\alpha=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}$$
$$S_x=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$$
$$H_\kappa=\begin{pmatrix}\kappa&0\\0&\kappa\end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix}\lambda&0\\0&1\end{pmatrix}$$ Первый линейный оператор в этом материале, который не собран из движений и гомотетий, — расстояния вдоль разных осей растут по-разному (напомним: матрицы вообще умеют куда больше, чем только эти геометрические частные случаи).
Пусть $L,M:V\to U$ — линейные операторы. Определим $(L+M)(v)=L(v)+M(v)$ и $(\lambda L)(v)=\lambda L(v)$ — операции с векторов переносятся на операторы, причём подчиняются тем же аксиомам модуля. Значит, множество $\mathcal L(V,U)$ всех линейных операторов из $V$ в $U$ само является векторным пространством над тем же полем $K$.
На операторах, действующих на одном и том же пространстве $V$ (то есть на $\mathrm{End}(V)=\mathcal L(V,V)$), есть ещё и композиция $LM:=L\circ M$, которую здесь принято называть умножением. Она подчиняется тождеству $$ \lambda(LM)=(\lambda L)M=L(\lambda M), $$ — а это в точности определяющее условие алгебры из §1: $\mathrm{End}(V)$ — алгебра линейных операторов над $K$. Раскладывая композицию $L\circ M$ по базису так же, как в §4, получаем обычное правило умножения матриц «строка на столбец» — то есть арифметика матриц не постулируется отдельно, а выводится из арифметики операторов.
При фиксированном базисе соответствие «оператор ↔ матрица» биективно и сохраняет все операции: сложение, умножение на число, композицию/умножение. Единичному оператору $\mathrm{id}$ отвечает единичная матрица $E$. Значит, алгебра $\mathrm{End}(V)$ изоморфна алгебре квадратных матриц $\mathrm{Mat}_n(K)$ — но в отличие от $\R[x]$ (пример 4 в §1), это умножение некоммутативно: $LM\ne ML$ в общем случае (в точности как композиция преобразований плоскости).
Оператор $L$ обратим тогда и только тогда, когда обратима его матрица. Для $2\times2$ матрицы $W=\begin{pmatrix}\omega_{11}&\omega_{12}\\\omega_{21}&\omega_{22}\end{pmatrix}$ решающую роль играет число $\omega_{11}\omega_{22}-\omega_{12}\omega_{21}$.
Это число называется определителем матрицы $W$ и обозначается $\det W$. В общей размерности $n$ определитель задаётся суммой по перестановкам: $$ \det W=\sum_{\sigma\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\,\omega^{(1)}_{\sigma(1)}\cdots \omega^{(n)}_{\sigma(n)}. $$
При $\det W\ne0$ прямое вычисление для $2\times2$ даёт явную обратную матрицу: $$ W^{-1}=\frac1{\det W}\begin{pmatrix}\omega_{22}&-\omega_{12}\\-\omega_{21}&\omega_{11}\end{pmatrix}, $$ а в любой размерности определитель удовлетворяет $\det(WU)=\det W\det U$, $\det E=1$, $\det W^{-1}=1/\det W$.
Ядро $\ker L=\{v\mid Lv=0\}$ и образ $L[V]$ — подпространства $V$, связанные тождеством $\dim\ker L+\dim L[V]=\dim V$.
Рангом матрицы $W$ оператора $L$ называется размерность его образа: $\mathrm{rank}(W):=\dim L[V]$.
Отсюда — критерий, объединяющий геометрию и алгебру в одном списке равносильных условий:
Для линейного оператора $L:V\to V$ равносильны:
Группа $\mathrm{GL}(V)$ обратимых операторов изоморфна группе $\mathrm{GL}(n)$ обратимых $n\times n$ матриц. Внутри неё выделяются ортогональные матрицы $\mathrm O(n)=\{A\mid A^{\mathsf T}A=E\}$ и матрицы с определителем $\pm1$ — специальная линейная группа $\mathrm{SL}(n)$; их пересечение $\mathrm{SL}(n)\cap\mathrm O(n)$ (определитель ровно $+1$) — специальная ортогональная группа $\mathrm{SO}(n)$.
Все три вернутся в §6 уже в геометрическом облике.
Факт «$\mathcal L(V,U)$ — векторное пространство» был сформулирован выше для произвольного $U$ — в §5 мы просто взяли $U=V$. Возьмём теперь другой частный случай: $U=K$, само поле скаляров, рассматриваемое как одномерное векторное пространство над собой.
Элементы $\mathcal L(V,K)$ — линейные отображения $f:V\to K$ — называются линейными функционалами. Пространство $$ V^*:=\mathcal L(V,K) $$ называется сопряжённым (или дуальным) пространством к $V$.
Для конечномерного $V$ с базисом $\e_1,\dots,\e_n$ рассмотрим функционалы $\e_1^*,\dots,\e_n^*\in V^*$, заданные правилом $\e_i^*(\e_j)=\delta_{ij}$ (единица при $i=j$, ноль иначе) — то есть $\e_i^*$ буквально есть $i$-я координатная функция $\xi_i$ из §3. Любой функционал $f$ однозначно восстанавливается по своим значениям на базисе: $f=\sum_i f(\e_i)\,\e_i^*$, так что $\{\e_i^*\}$ — базис $V^*$.
Базис $\e_1^*,\dots,\e_n^*$, построенный так по базису $\e_1,\dots,\e_n$ пространства $V$, называется сопряжённым (или дуальным) базисом. В частности, $$ \dim V^*=\dim V. $$
Композиция $LM$ типизируется корректно: $V\xrightarrow{M}V\xrightarrow{L}V$. Это и даёт вторую операцию, превращающую пространство операторов в алгебру.
Композиция $f\circ g$ для $f,g\in V^*$ не типизируется: $g:V\to K$, а $f$ нужно применять к вектору из $V$, а не к числу из $K$. Естественного умножения нет — отсюда $V^*$ остаётся просто векторным пространством, без структуры алгебры.
Простейший пример функционала, помимо координатных проекций, — след $\mathrm{tr}:\mathrm{Mat}_n(\R)\to\R$, $\mathrm{tr}(A)=\sum_i \omega_{ii}$: применяя ту же конструкцию к пространству $V=\mathrm{Mat}_n(\R)$ из примера 5 §1, получаем линейный функционал на пространстве матриц — элемент уже его собственного сопряжённого пространства.
Всё готово, чтобы вернуться к «Движениям плоскости» и «Подобиям плоскости» и увидеть их в точности как частный класс линейных операторов из §4–5.
| Геометрическое преобразование | Матрица (в стандартном базисе) | $\det$ |
|---|---|---|
| Тождественное $\mathrm{id}$ | $E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ | $+1$ |
| Поворот $R_\alpha$ | $\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}$ | $+1$ |
| Гомотетия $H_\kappa$, $\kappa>0$ | $\kappa E$ | $+\kappa^2$ |
| Поворотная гомотетия $RH_\alpha^\kappa$ | $\kappa\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}$ | $+\kappa^2$ |
| Отражение $S_{Ox}$ | $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ | $-1$ |
| Отражённая гомотетия $SH^\kappa_{Ox}$ | $\begin{pmatrix}\kappa&0\\0&-\kappa\end{pmatrix}$ | $-\kappa^2$ |
Все шесть матриц устроены одинаково: столбцы — два взаимно перпендикулярных вектора одной и той же длины $\kappa$. Это не совпадение, а исчерпывающий критерий, который можно доказать средствами, уже собранными в §5.
Линейный оператор $L$ на плоскости (со стандартным скалярным произведением) есть линейная часть подобия с коэффициентом $\kappa>0$ — то есть $|Lx|=\kappa|x|$ для любого вектора $x$ — тогда и только тогда, когда его матрица $W$ удовлетворяет $W^{\mathsf T}W=\kappa^2E$: столбцы $W$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину $\kappa$. При этом $\det W=\kappa^2>0$ отвечает поворотной гомотетии (в частности, повороту при $\kappa=1$), а $\det W=-\kappa^2<0$ — отражённой гомотетии (в частности, отражению при $\kappa=1$).
Доказательство собирается из §5 без единого нового ингредиента. Условие $|Lx|=\kappa|x|$ для всех $x$ равносильно $\langle Lx,Lx\rangle=\kappa^2\langle x,x\rangle$; подставив $x=u+v$ и раскрыв обе части по билинейности скалярного произведения, а затем вычтя уже известные равенства для $u$ и для $v$ по отдельности, получаем поляризованную форму $\langle Lu,Lv\rangle=\kappa^2\langle u,v\rangle$ для любых $u,v$. С другой стороны, $\langle Lu,Lv\rangle=\langle u,W^{\mathsf T}Wv\rangle$ (тождество из «Арифметики матриц», применённое к $A=W^{\mathsf T}W$) — значит, $W^{\mathsf T}W=\kappa^2E$. Тогда $\det(W^{\mathsf T}W)=(\det W)^2=\det(\kappa^2E)=\kappa^4$, откуда $\det W=\pm\kappa^2$; знак фиксирует ориентацию — совпадает она с исходной (поворотная гомотетия) или обращается (отражённая гомотетия), в точности по классификации подобий плоскости.
Оператор растяжения $\mathrm{diag}(\lambda,1)$ из §4 нарушает это условие уже при $\lambda\ne1$ ($\kappa_1=\lambda\ne1=\kappa_2$) — простейший пример линейного оператора, который не является подобием, потому что растягивает разные направления по-разному. Это ровно тот механизм, который отличает произвольные $\R$-линейные отображения $\R^2\to\R^2$ от $\C$-линейных: комплексная дифференцируемость — это в точности требование быть локально поворотной гомотетией, без права растягивать по-разному в разных направлениях (подробнее — в «Конформности и дробно-линейных преобразованиях», §1–2).
Ниже — конструктор: перетащите концы векторов $Le_1$ и $Le_2$ (или выберите пресет) и посмотрите, при каких матрицах оператор остаётся подобием, а при каких — нет.
«Движения плоскости» и «Подобия плоскости» и есть в точности классификация всех линейных операторов $\R^2\to\R^2$, удовлетворяющих $W^{\mathsf T}W=\kappa^2E$, по знаку $\det W$ и значению $\kappa$ — только полученная геометрически, а не алгебраически. А умножение на комплексное число $a\ne0$ из «Комплексных чисел» — это тот же самый оператор, записанный не матрицей $2\times2$, а одним числом $a=\kappa e^{i\alpha}$: конструкция II оттуда сопоставляет $a=x+iy$ ровно матрицу $\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}$, столбцы которой перпендикулярны и равны по длине $|a|$ — то есть автоматически удовлетворяют критерию этой теоремы.