Математический анализ · Комплексный анализ
Умножение на комплексное число — поворотная гомотетия (материал «Комплексные числа: три конструкции одного поля»); производная — тот же предел, что и для вещественных функций (материал «Регулярные функции»). Здесь — что из этого следует геометрически: регулярность оказывается подобием «в бесконечно малом», а значит сохраняет углы между кривыми, и на примере инверсии $w=1/z$ это можно увидеть и доказать в чистом виде.
Пусть $f$ дифференцируема в точке $z_0$, и $a=f'(z_0)$. По определению производной,
$$f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+o(z-z_0)\quad\text{при }z\to z_0,$$
то есть вблизи $z_0$ функция $f$ приближается своей линейной частью
$$f(z)\approx f(z_0)+a(z-z_0)=az+\big(f(z_0)-az_0\big).$$
Это в точности подобие $w=az+b$ из материала «Комплексные числа: три конструкции одного поля» с $b=f(z_0)-az_0$ — поворотная гомотетия с коэффициентом $|a|$ и углом поворота $\arg a$. Разница с тем материалом только в одном: там $a$ было фиксированным числом для всего преобразования плоскости, здесь $a=f'(z_0)$ меняется от точки к точке — это подобие «в бесконечно малом», своё в каждой точке области регулярности.
Пусть через точку $z_0$ проходит гладкая кривая $\gamma(t)$, $\gamma(0)=z_0$, с касательным вектором $\gamma'(0)=\tau\ne0$. Направление кривой в $z_0$ — это $\arg\tau$; угол между двумя кривыми, пересекающимися в $z_0$ с касательными $\tau_1,\tau_2$, — это разность $\arg\tau_2-\arg\tau_1$.
Посмотрим, что происходит с этим углом под действием регулярной функции $f$ с $f'(z_0)=a\ne0$. Образ кривой — это $f(\gamma(t))$, и её касательная в $t=0$:
$$(f\circ\gamma)'(0)=\lim_{t\to0}\frac{f(\gamma(t))-f(\gamma(0))}{t}=\lim_{t\to0}\frac{f(\gamma(t))-f(z_0)}{\gamma(t)-z_0}\cdot\frac{\gamma(t)-z_0}{t}=a\tau.$$
Первый множитель стремится к $f'(z_0)=a$, потому что $\gamma(t)\to z_0$ при $t\to0$, а комплексная производная — это предел по любому направлению приближения (материал «Регулярные функции», §1), не только вдоль прямой; второй множитель стремится к $\gamma'(0)=\tau$ по определению.
Значит, касательная к образу кривой — это $a\tau$: исходная касательная $\tau$, умноженная на одно и то же число $a$, для любой кривой через $z_0$. Для двух кривых с касательными $\tau_1,\tau_2$ угол между образами
$$\arg(a\tau_2)-\arg(a\tau_1)=\big(\arg a+\arg\tau_2\big)-\big(\arg a+\arg\tau_1\big)=\arg\tau_2-\arg\tau_1$$
— тот же угол, что и между исходными кривыми, с тем же знаком (ориентация тоже сохраняется). Это и есть конформность.
Если $f$ регулярна в точке $z_0$ и $f'(z_0)\ne0$, то $f$ конформна в $z_0$: сохраняет углы между кривыми, включая знак угла.
Условие $f'(z_0)\ne0$ существенно: там, где производная обращается в нуль, линейная часть приближения из §1 исчезает, и углы, вообще говоря, не сохраняются. Простой пример: $f(z)=z^2$ в точке $z_0=0$. Записав $z=re^{i\theta}$, получаем $f(z)=r^2e^{2i\theta}$ — угол между любыми двумя лучами из нуля под действием $f$ удваивается, а не сохраняется.
Простейший пример регулярной функции, не сводящейся к подобию, — инверсия $w=1/z$. Она регулярна и конформна всюду, кроме $z=0$: $w'(z)=-1/z^2\ne0$ при $z\ne0$. У неё есть знаменитое свойство — она переводит окружности и прямые снова в окружности и прямые.
Пусть окружность $|z-c|=r$ не проходит через ноль ($|c|\ne r$). Тогда её образ под действием $w=1/z$ — окружность с центром $c'=\bar c/(|c|^2-r^2)$ и радиусом $r'=r/\big||c|^2-r^2\big|$.
Уравнение окружности $|z-c|=r$ запишется как $(z-c)(\bar z-\bar c)=r^2$, то есть $z\bar z-c\bar z-\bar cz+|c|^2-r^2=0$. Подставим $z=1/w$, $\bar z=1/\bar w$ (это и есть преобразование, обратное к $w=1/z$) и умножим на $w\bar w\ne0$:
$$1-cw-\bar c\bar w+(|c|^2-r^2)\,w\bar w=0.$$
Поделим на $|c|^2-r^2\ne0$:
$$w\bar w-\frac c{|c|^2-r^2}w-\frac{\bar c}{|c|^2-r^2}\bar w+\frac1{|c|^2-r^2}=0.$$
Уравнение окружности $|w-c'|=r'$ в тех же обозначениях — это $w\bar w-\bar{c'}w-c'\bar w+|c'|^2-r'^2=0$. Сравнивая коэффициенты при $w$ и при $\bar w$, получаем $\bar{c'}=c/(|c|^2-r^2)$, откуда и берётся формула для $c'$; из свободного члена $|c'|^2-r'^2=1/(|c|^2-r^2)$, что после подстановки $|c'|^2$ даёт формулу для $r'$.
(Если окружность всё же проходит через ноль, $|c|=r$, знаменатель обращается в ноль, и образ — уже не окружность, а прямая; этот предельный случай ниже в интерактиве не показан — центр окружности намеренно не подпускается к нулю ближе фиксированной границы, чтобы $1/z$ не приходилось вычислять сколь угодно близко к особой точке.)
Функция $\displaystyle w=\frac{az+b}{cz+d}$, $a,b,c,d\in\C$, $ad-bc\ne0$, называется дробно-линейным (или Мёбиусовым) преобразованием. Условие $ad-bc\ne0$ — это в точности условие того, что $w$ не вырождается в постоянную функцию.
При $c=0$ преобразование — это просто $w=(a/d)z+(b/d)$, подобие; окружности и прямые переходят в окружности и прямые тривиально (материал «Комплексные числа: три конструкции одного поля»).
При $c\ne0$ поделим числитель на знаменатель:
$$\frac{az+b}{cz+d}=\frac ac+\frac{bc-ad}{c^2}\cdot\frac1{z+d/c}$$
(проверяется раскрытием скобок: $\frac ac(cz+d)+\frac{bc-ad}c=az+\frac{ad}c+\frac{bc-ad}c=az+b$). Правая часть — это перенос на $d/c$, затем инверсия, затем поворотная гомотетия с коэффициентом $(bc-ad)/c^2$ (ненулевым ровно при $ad-bc\ne0$), затем перенос на $a/c$.
Перенос и подобие переводят окружности и прямые в окружности и прямые тривиально (материал 1); инверсия — по теореме из §3. Композиция преобразований с этим свойством снова обладает этим свойством, поэтому и любое дробно-линейное преобразование переводит окружности и прямые в окружности и прямые — без отдельного доказательства для общего случая.
Как композиция регулярных функций (перенос, инверсия и подобие регулярны и конформны везде, где определены), дробно-линейное преобразование регулярно и конформно на всей области определения — то есть всюду, кроме точки $z=-d/c$ (при $c\ne0$), где знаменатель обращается в ноль.
Проверим это не на инверсии, а на настоящем дробно-линейном преобразовании с ненулевым $a$. Возьмём классический пример $w=\dfrac{z+1}{z-1}$ (единичная окружность $|z|=1$ переходит в мнимую ось — это можно проверить прямой подстановкой $z=e^{i\theta}$) и применим тот же приём, что и в §3: сэмплируем окружность в 120 точках и построим образ.
Три материала этой серии прошли путь от алгебры к геометрии через анализ. Сначала — три равносильные конструкции поля ℂ и открытие, что умножение на число — это поворотная гомотетия (материал «Комплексные числа: три конструкции одного поля»). Затем — что значит быть дифференцируемой функцией комплексного переменного и почему это условие оказалось на удивление жёстким: регулярность влечёт представимость рядом Тейлора, единственность продолжения, интегральную теорему и формулу Коши (материал «Регулярные функции»).
И, наконец, здесь — что регулярность означает геометрически: в каждой точке, где производная не равна нулю, функция ведёт себя как подобие «в бесконечно малом», а значит сохраняет углы между кривыми. Инверсия и её потомки, дробно-линейные преобразования, показывают это свойство в чистом виде — на примере, который можно провести явно от определения до готовой формулы.