АРХЕТИПЫ МАТЕМАТИКИ
Книга
Архетипы математики
В книге на примере изучения логики, теории множеств, алгебры, геометрии, анализа, теории графов рассматриваются некоторые общие характерные приемы и методы конструирования математических объектов и теорий, так называемые архетипы. Даются их наименования, описание и ссылки на них по ходу изложения материала. Сам материал представлен как на наивном, так и на современном строгом уровне, ряд теорем приводится с доказательством, подробно рассматривается построение наследственно-конечных множеств и логики первого порядка с целью донести до широкого круга читателей возможность компьютерного моделирования математических доказательств. Вместе с тем, делается акцент на необходимости участия человека в этом процессе. В книге также дается ряд примеров из теории чисел, в частности, доказательство Великой Теоремы Ферма для случая n = 3 и 4, подробно рассмотрена теорема Гудстейна. Кроме того, проводится детальное описание движений в геометрии, всесторонне рассматривается аксиома выбора и ее влияние на математику, приводится ряд примеров из теории случайных графов с анализом их свойств.
612
страниц в цвете
83
картинки и схемы
126
книг-источников
34
архетипа математики
Содержание
Глава 1
Разделы
Глава 1. Множества и мультимножества
Речь идет о формальном языке математики - теории множеств. Сначала мы оперируем «наивным» понятием множества, вводим грамматику языка, затем подробно рассматриваем аксиоматику теории множеств.
Глава 1. Множества и мультимножества
- Наследственно-конечные множества
- Аксиоматика Цермело-Френкеля
- Основные инструменты
- Универсумы и мультимножества
Глава 2
Разделы
Глава 2. Числа
Глава посвящена «линейным» числам, т. е. числам, упорядоченным отношением линейного порядка. Начиная от натуральных чисел и ординалов, мы продвигаемся через рациональные и действительные к сюрреальным числам.
Глава 2. Числа
- Арифметика порядковых чисел
- Кардинальная арифметика
- Немного теории чисел
- Числовые структуры
Глава 3
Разделы
Глава 3. Дальнейшие обобщения чисел
Рассматриваем ряд алгебраических конструкций и на их основе изучаем некоторые числовые структуры, которые на первый взгляд трудно отнести к числам (например, многочлены и матрицы).
Глава 3. Дальнейшие обобщения чисел
- Окно в общую алгебру
- Матричное представление чисел
- Гауссовы целые числа
- Целые числа Эйзенштейна
- Линейные пространства и операторы
- Экскурс в геометрию
- Многочлены
- Группы: завершающий аккорд
- Числовые архетипы
Глава 4
Разделы
Глава 4. Матлогика. Исчисления I
Посвящена основаниям математики и связанным с ними исчислениям. По сути, все это — набор методов работы с числами и их символикой, набор алгоритмов и задач, посвященных проблемам разрешимости, т. е. ситуациям, когда та или иная задача может быть детерминирована, а ее решение может быть получено за конечное число простых действий.
Глава 4. Матлогика. Исчисления I
- Исчисления высказываний и предикатов
- Аксиома выбора: полезная и странная
- Вычислимость и доказуемость
Глава 5
Разделы
Глава 5. Анализ. Исчисления II
Рассматриваем аналитический аппарат, который в основном лежит в мире действительных чисел и непрерывных объектов. Здесь нас тоже интересуют исчисления, однако связанные более с физико-математическими задачами.
Глава 5. Анализ. Исчисления II
- Пространства и отображения
- Преобразования пространств
- Конечные разности и вариации
- Вероятности
- Несколько слов об общей картине
Глава 6
Разделы
Глава 6. Графы
Изучаем понятие графа и его обобщения, а также приводим ряд теорем для случанйх графов и лесов.
Глава 6. Графы
- Подходы к определению
- Обычные графы
- Вероятности на графах
Видеоролики
Несколько видеороликов по сюжетам книги
ФОРМАЛЬНЫЕ ТЕОРИИ
Из цикла "Математика как иностранный"
ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ
Речь идет о второй теореме Гёделя о неполноте
ТЕОРЕМА ГУДСТЕЙНА
Ролик размещен на канале Алексея Савватеева
АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Видео по книге
АРИФМЕТИКА ПЕАНО
Из цикла "Математика как иностранный"
СЮРРЕАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Видео по книге
Н. И. Казимиров
Российский популяризатор математики, автор книг по математике.
Окончил математический факультет ПетрГУ (2000) и аспирантуру Института прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН (2003). Кандидатская диссертация (физико-математические науки) на тему: «Леса Гальтона — Ватсона и случайные подстановки» (2003). Во время учёбы в ПетрГУ работал учителем математики в Университетском лицее Петрозаводска, а также вёл курс математического анализа на физическом факультете ПетрГУ.
Работал младшим научным сотрудником Института прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН в 1998—2002 годах. Опубликовал более десяти научных работ, занимался популяризацией математики в группе Алексея Савватеева.
АРХЕТИПЫ МАТЕМАТИКИ