Математический анализ · Комплексный анализ
Умножение на комплексное число — поворотная гомотетия (см. «Комплексные числа: три конструкции одного поля»). Какие функции $f(z)$ ведут себя настолько же хорошо в каждой точке? Оказывается — жёсткое и на удивление узкое семейство: регулярные функции, для которых из одной лишь дифференцируемости следует представимость степенным рядом.
Комплексная производная определяется тем же пределом, что и для функций одной вещественной переменной:
$$f'(z)=\lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z},$$
только теперь приращение $\Delta z$ — комплексное число, и стремиться к нулю оно может по любому направлению на плоскости.
Функция $f$ называется регулярной в области $D$, если она дифференцируема в каждой точке $D$. Регулярная на всей комплексной плоскости функция называется целой.
Поскольку $\Delta z\to0$ может идти по любому направлению, предел обязан совпадать вдоль вещественной оси и вдоль мнимой. Запишем $f=u+iv$, где $u,v$ — вещественная и мнимая части $f$ как функции $(x,y)$. При $\Delta z=\Delta x$ (вдоль вещественной оси):
$$f'(z)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x,y)-u(x,y)}{\Delta x}+i\lim_{\Delta x\to0}\frac{v(x+\Delta x,y)-v(x,y)}{\Delta x}=u_x+iv_x.$$
При $\Delta z=i\Delta y$ (вдоль мнимой оси):
$$f'(z)=\frac1i\lim_{\Delta y\to0}\frac{u(x,y+\Delta y)-u(x,y)}{\Delta y}+\lim_{\Delta y\to0}\frac{v(x,y+\Delta y)-v(x,y)}{\Delta y}=v_y-iu_y.$$
Оба предела — одно и то же число $f'(z)$, значит их вещественные и мнимые части совпадают:
$$u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.$$
Это условия Коши–Римана — необходимое условие комплексной дифференцируемости в точке. В отличие от вещественного случая, где дифференцируемость в отдельной точке — довольно слабое требование, регулярность (дифференцируемость во всех точках области сразу) оказывается на удивление жёстким ограничением — этому посвящён следующий параграф, а условия Коши–Римана ещё понадобятся в §3.
В отличие от вещественного случая, из комплексной дифференцируемости в каждой точке области следует существование производных всех порядков — и представимость функции степенным рядом Тейлора в окрестности любой точки области регулярности:
$$f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+f''(z_0)\frac{(z-z_0)^2}{2}+f'''(z_0)\frac{(z-z_0)^3}{3!}+\dots$$
Доказательство этого факта небыстрое и остаётся за рамками этого материала — но именно оно превращает регулярность из локального условия в чрезвычайно жёсткое глобальное: зная функцию в сколь угодно малой окрестности точки, можно восстановить её значения во всей области регулярности.
Пусть функции $f$ и $g$ регулярны в области $D$, и существует последовательность $\{z_n\}\subset D$, сходящаяся к точке $w\in D$, на которой $f(z_n)=g(z_n)$. Тогда $f=g$ на всей области $D$.
Следствия: отличная от тождественного нуля регулярная функция имеет лишь конечное число нулей в любом замкнутом круге, целиком лежащем в области регулярности; если две регулярные функции совпадают на какой-то кривой внутри общей области регулярности, они совпадают всюду в этой области. В частности, если две целые функции совпадают на вещественном интервале $(-r;r)$, они совпадают на всей плоскости $\C$.
Ниже это используется для комплексной экспоненты: продолжение вещественной функции до регулярной на $\C$, если оно вообще существует, единственно.
Пусть $f=u+iv$ регулярна в области, содержащей замкнутый контур $C$ и ограниченную им область $D$. Тогда
$$\oint_C f(z)\,dz=0.$$
Запишем $dz=dx+i\,dy$ и раскроем произведение:
$$\oint_C f\,dz=\oint_C(u+iv)(dx+i\,dy)=\oint_C(u\,dx-v\,dy)+i\oint_C(v\,dx+u\,dy).$$
К каждому из двух вещественных контурных интегралов применима формула Грина
$$\oint_C P\,dx+Q\,dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA.$$
Для вещественной части ($P=u$, $Q=-v$):
$$\oint_C u\,dx-v\,dy=\iint_D(-v_x-u_y)\,dA.$$
Для мнимой части ($P=v$, $Q=u$):
$$\oint_C v\,dx+u\,dy=\iint_D(u_x-v_y)\,dA.$$
По условиям Коши–Римана из §1 ($u_x=v_y$, $u_y=-v_x$) оба подынтегральных выражения — тождественный нуль: $-v_x-u_y=-v_x-(-v_x)=0$ и $u_x-v_y=0$. Значит, оба контурных интеграла равны нулю, и $\oint_C f\,dz=0$.
Геометрически это означает, что интеграл $\int_{z_1}^{z_2}f\,dz$ по любому пути внутри области регулярности зависит только от начальной и конечной точки.
Из теоремы следует куда более сильный факт — интегральная формула Коши: значение регулярной функции внутри контура полностью определяется её значениями на самом контуре.
Пусть $f$ регулярна в области, содержащей замкнутый контур $C$ и ограниченную им область $D$, и $z_0\in D$. Тогда
$$f(z_0)=\frac1{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz.$$
Идея доказательства: функция $g(z)=f(z)/(z-z_0)$ регулярна всюду в $D$, кроме самой точки $z_0$. Вырежем из $D$ маленький круг радиуса $\varepsilon$ с центром $z_0$: на оставшемся кольце между $C$ и окружностью $C_\varepsilon$ функция $g$ уже регулярна везде. Формула Грина работает и для области с «дыркой» (нужно лишь правильно ориентировать границу — внешний контур против часовой стрелки, внутренний по часовой), поэтому доказанная выше теорема даёт $\oint_C g\,dz=\oint_{C_\varepsilon}g\,dz$ при любом достаточно малом $\varepsilon$. Параметризуя $z=z_0+\varepsilon e^{i\theta}$:
$$\oint_{C_\varepsilon}\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=\int_0^{2\pi}\frac{f(z_0+\varepsilon e^{i\theta})}{\varepsilon e^{i\theta}}\,i\varepsilon e^{i\theta}\,d\theta=i\int_0^{2\pi}f(z_0+\varepsilon e^{i\theta})\,d\theta.$$
При $\varepsilon\to0$ подынтегральное выражение стремится к $f(z_0)$ равномерно по $\theta$ (регулярность влечёт непрерывность), поэтому весь интеграл стремится к $i\cdot2\pi f(z_0)$. Левая часть $\oint_C g\,dz$ от $\varepsilon$ вообще не зависит — значит, это и есть её значение: $\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi if(z_0)$, что и требовалось.
Формула восстанавливает функцию в любой внутренней точке из одних лишь граничных данных — а продифференцированная по $z_0$ под знаком интеграла, она и лежит в основе опущенного в §2 доказательства представимости регулярной функции рядом Тейлора.
Определим комплексную экспоненту тем же степенным рядом, что и вещественную:
$$\exp(z)=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3!}+\dots$$
Ряд сходится в каждой точке $z\in\C$: частичные суммы образуют фундаментальную последовательность, поскольку при $n Экспоненту можно также представить как предел: $$e^z=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac zn\right)^n.$$ Возьмём $z=i\varphi$ — чисто мнимое число. С одной стороны, по определению $e^{i\varphi}=\lim_{n\to\infty}(1+i\varphi/n)^n$. С другой — известные пределы $\cos(\varphi/n)=1-\varphi^2/2n^2+o(1/n^2)$ и $\sin(\varphi/n)=\varphi/n+o(1/n)$ дают $\cos(\varphi/n)+i\sin(\varphi/n)=1+i\varphi/n+o(1/n)$ — то есть эти два выражения различаются на величину порядка $o(1/n)$. Аккуратная оценка (через неравенство $|z^n-w^n|\le n|z-w|\max\{|z|^{n-1},|w|^{n-1}\}$) показывает, что после возведения в $n$-ю степень эта разница исчезает в пределе, и $$e^{i\varphi}=\lim_{n\to\infty}\big(\cos(\varphi/n)+i\sin(\varphi/n)\big)^n=\cos\varphi+i\sin\varphi$$ — последнее равенство верно, поскольку при умножении $n$ одинаковых чисел с единичной окружности их аргументы складываются, а модули остаются равны единице. Это формула Эйлера. При $\varphi=\pi$ она даёт знаменитое тождество $$e^{i\pi}+1=0,$$ связывающее пять фундаментальных констант одним равенством. Разделяя вещественную и мнимую части ряда для $e^{i\varphi}$, получаются ряды Тейлора для синуса и косинуса: $$\cos\varphi=1-\frac{\varphi^2}{2!}+\frac{\varphi^4}{4!}-\dots,\qquad\sin\varphi=\varphi-\frac{\varphi^3}{3!}+\frac{\varphi^5}{5!}-\dots$$
Умножение на комплексное число — поворотная гомотетия (материал «Комплексные числа: три конструкции одного поля»). Регулярность в точке, где $f'(z_0)\ne0$, устроена похоже: в окрестности $z_0$ функция $f$ приближается своей линейной частью, $f(z)\approx f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)$ — тем же самым подобием, только с коэффициентом $a=f'(z_0)$, меняющимся от точки к точке.
У подобия есть характерное свойство — сохранение углов между пересекающимися прямыми. Что из этого следует для кривых, проходящих через $z_0$, и как это использовать для явного построения геометрических отображений плоскости — тема отдельного материала.