Математический анализ · Комплексные числа
Уравнение $x^2+1=0$ не имеет решений в R — но добавить к R решение можно ровно одним способом (с точностью до переименования), и посмотреть на этот способ можно с трёх разных сторон. А заодно увидеть, что умножение на комплексное число — это в точности та поворотная гомотетия, что уже разобрана в «Подобиях плоскости».
Уравнение $x^2+1=0$ не имеет решений среди действительных чисел: квадрат любого вещественного числа неотрицателен, и потому $x^2+1\ge1>0$ при любом $x$. При этом R — уже полное упорядоченное поле (см. «Уровни формализации математического анализа», где эта полнота представлена сразу на трёх уровнях формализации разной выразительной силы — от языка 1-го порядка над RCF до ZFA, — заведомо не равносильных друг другу).
Полнота, однако, не даёт алгебраической замкнутости: она обеспечивает существование супремумов и пределов, но не корней многочленов. Расширить R до поля, в котором уравнение $x^2+1=0$ разрешимо, можно — и притом ровно одним способом, с точностью до переименования элементов. Ниже этот способ рассмотрен с трёх разных точек зрения.
Единственность конструкции не означает единственности описания: ниже — три равносильных языка, на которых обычно вводят поле ℂ.
Конструкции ℂ
Число — это пара $z=(x,y)$. Сложение покоординатное: $(x,y)+(x',y')=(x+x',\,y+y')$. Умножение задаётся отдельно: $(x,y)(x',y')=(xx'-yy',\,xy'+x'y)$. Обозначим $i=(0,1)$: тогда $i\cdot i=(0\cdot0-1\cdot1,\ 0\cdot1+1\cdot0)=(-1,0)$, то есть $i^2=-1$. Записываем пару $(x,y)$ как $x+iy$.
Числу $x+iy$ сопоставим матрицу $\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}$. Сложение и умножение чисел превращаются в сложение и умножение таких матриц; $i$ соответствует матрице поворота на $90^\circ$ — $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$, и её квадрат $\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-E$ подтверждает $i^2=-1$. Определитель $x^2+y^2\ne0$ при $(x,y)\ne(0,0)$ — у каждого ненулевого числа есть обратное; сопряжение — это транспонирование.
Многочлен $x^2+1$ не имеет вещественных корней, поэтому неприводим над R, и факторкольцо $\R[x]/(x^2+1)$ — поле. Обозначим класс $[x]$ буквой $i$: по определению фактора $x^2+1\equiv0$, откуда $i^2=-1$ — это не проверяемый факт, а прямое следствие того, по какому многочлену берётся остаток. Каждый класс однозначно представим многочленом степени меньше 2, то есть выражением $x+iy$.
Между любыми двумя из этих языков есть перевод, сохраняющий сложение и умножение (изоморфизм полей) — дальше мы свободно переключаемся между ними, не уточняя каждый раз, в какой из трёх моделей идёт вычисление.
Сложение устроено просто: $z\mapsto z+b$ — это перенос плоскости на вектор $b$. Умножение устроено интереснее. Зафиксируем $a\ne0$ и рассмотрим преобразование $w=az$: это поворотная гомотетия с центром в нуле — коэффициент растяжения $|a|$, угол поворота $\arg a$, — тот же объект, что уже разобран в «Подобиях плоскости», только теперь центр закреплён в нуле, а сдвиг $b=0$.
Условие $a\ne0$ существенно: при $a=0$ плоскость стягивается в точку $0$ — это уже не подобие, а вырожденное отображение.
Поле ℂ построено тремя равносильными способами; сложение оказалось переносом, а умножение на фиксированное число $a$ — той же поворотной гомотетией, что рассмотрена в «Подобиях плоскости», только полученной теперь из арифметики, а не из геометрии. Однако $f(z)=az$ — линейная функция, простейшая из всех функций комплексного переменного.
Естественный следующий шаг — более сложные функции: многочлены, рациональные дроби, степенные ряды. У некоторых из них в каждой точке области определения существует производная $f'(z)=\lim\limits_{\Delta z\to0}\dfrac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}$, определяемая тем же пределом, что и для функций одной вещественной переменной, — только приращение $\Delta z$ теперь комплексное. Свойства таких функций — тема отдельного материала.