Геометрия · Группы
Гомотетия и поворотная гомотетия расширяют движения плоскости до полного семейства подобий: в формуле $f(z)=az+b$ коэффициент $a$ теперь может быть любым (не только $|a|=1$, как для движений) — и, пока $a\ne1$, преобразование по-прежнему имеет ровно одну неподвижную точку. Ниже — интерактивные модели вместо длинных доказательств.
Подобие плоскости — это преобразование $P$, при котором расстояния между образами точек меняются в одно и то же число раз: $\rho(P(x),P(y)) = k\,\rho(x,y)$ для некоторого числа $k>0$, одного и того же для любых $x,y$. Число $k$ называется коэффициентом подобия.
При $k=1$ расстояния сохраняются в точности — это в точности движения плоскости: перенос, поворот, отражение, скользящая симметрия. Всё дальше касается случая $k\ne1$ — когда фигуры не просто перемещаются, а ещё и меняют размер.
Композиция подобий с коэффициентами $k$ и $s$ — снова подобие, с коэффициентом $ks$: это следует прямо из определения ($\rho$ умножается сначала на $k$, потом на $s$).
Зафиксируем точку $O$ — центр гомотетии. Гомотетия с коэффициентом $k$ переводит точку $A$ в точку $H_O^k(A) = O + k\vec{OA}$ — на луче $OA$ (или его продолжении), на расстоянии в $|k|$ раз больше, чем $|OA|$. Перетащите центр $O$ и подвигайте ползунок $k$.
Обратите внимание, что коэффициент гомотетии может быть отрицательным. Поскольку гомотетия является частным случаем подобия (очевидно из определения), имеется прямая связь между коэффициентом гомотетии и коэффициентом соответствующего подобия, а именно: гомотетия с коэффициентом $k$ является подобием с коэффициентом $|k|$.
$H_O^k\circ H_O^s = H_O^{ks}$ — коэффициенты просто перемножаются. Гомотетии с общим центром и операцией композиции устроены как ненулевые числа с умножением — совсем как переносы устроены как числа со сложением ($T_a\circ T_b=T_{a+b}$).
Скомбинируем гомотетию с поворотом вокруг того же центра $O$: сначала растянуть в $k$ раз, потом повернуть на угол $\alpha$ — или наоборот, результат один и тот же, поворот и гомотетия с общим центром коммутируют: $R_O^\alpha\circ H_O^k = H_O^k\circ R_O^\alpha$. Если поместить $O$ в комплексный ноль, всё действие — это просто умножение на число $ke^{i\alpha}$.
Если поместить центр поворотной гомотетии в комплексный ноль, её формула — умножение на $a=ke^{i\alpha}$. Со сдвигом центра формула становится $f(z)=az+b$, где $a$ — любое комплексное число, кроме нуля ($a=0$ стягивает всю плоскость в одну точку — это уже не подобие). Пока $a\ne1$ (то есть пока преобразование не сводится к чистому переносу), у него есть ровно одна неподвижная точка: из $f(z_0)=z_0$ следует $z_0=b/(1-a)$. Формулу можно переписать компактнее: $f(z)-z_0 = a(z-z_0)$ — преобразование буквально «растягивает-поворачивает» всё вокруг $z_0$ на коэффициент $a$.
Любое подобие плоскости — один из четырёх видов:
перенос (в частности, тождественное преобразование);
поворотная гомотетия (в частности, тождественное преобразование, поворот или гомотетия);
скользящая симметрия (в частности, отражение);
отражённая гомотетия (в частности, отражение).
Поворотная гомотетия уже разобрана в §3. Отражённая гомотетия — её «зеркальный» аналог: гомотетия $H_{z_0}^k$, скомбинированная с отражением относительно оси, проходящей через её же центр $z_0$ (гомотетия и такое отражение коммутируют, как и гомотетия с поворотом в §3). При $k=1$ это просто обычное отражение относительно этой оси. Именно за неё отвечает вкладка «Отражённая гомотетия» в калькуляторе (§7).
Границы между классами пересекаются — и это не случайность, а часть той же картины, что уже встречалась у движений: тождественное преобразование одновременно и «нулевой» перенос, и «нулевая» поворотная гомотетия ($k=1$, $\alpha=0$); обычное отражение одновременно и скользящая симметрия с нулевым сдвигом, и отражённая гомотетия с $k=1$. Других подобий плоскости не бывает.
Каждое подобие плоскости, как и каждое движение, записывается одной формулой в комплексных числах — только теперь коэффициент $a$ уже не заперт на единичной окружности.
$f(z)=az+b$, $a\ne0$ — собственные подобия (сохраняют ориентацию): при $a=1$ это перенос на вектор $b$; при $a\ne1$ — поворотная гомотетия с коэффициентом $|a|$, углом поворота $\arg a$ и центром $z_0=b/(1-a)$ (см. §4).
$f(z)=a\bar z+b$, $a\ne0$ — несобственные подобия (меняют ориентацию): при $|a|=1$ это скользящая симметрия, в частности отражение (см. «Движения плоскости»); при $|a|\ne1$ — отражённая гомотетия с коэффициентом $|a|$ (см. выше).
Ровно эти четыре случая и составляют теорему о классификации из §5 — только записанные не геометрически, а алгебраически.
Соберите $g$ (применяется первым) и $f$ (применяется вторым) — ниже сразу появится $f\circ g$: класс результата и его формула, посчитанные из алгебры, а не подобранные на глаз. Таблицы классов здесь сознательно нет — вместо неё исследуйте сами: например, композицию двух отражённых гомотетий с перпендикулярными осями и разными $k$, или поворотную гомотетию с $k$ и с $1/k$ вокруг одного центра.