Геометрия · Группы
Перенос, поворот, отражение и скользящая симметрия — все движения плоскости укладываются в три класса. Теорема о трёх гвоздях объясняет, почему это так, а теорема Шаля даёт полную классификацию. Ниже — интерактивные модели вместо длинных доказательств.
Движение плоскости — это преобразование, которое сохраняет расстояния: если между точками $A$ и $B$ было расстояние $x$, то после движения расстояние между их образами $A'$ и $B'$ снова равно $x$ — и так для любой пары точек.
Простейший пример — параллельный перенос: все точки сдвигаются на один и тот же вектор, поэтому расстояния между ними не меняются. Дальше выяснится, что «простейших» видов движения плоскости на самом деле немного — и они полностью исчерпывают список.
Переключайте вкладки и тащите ручки — флажок сразу показывает, что делает каждое движение. Бледный контур — исходное положение, синий флажок — образ.
Если движение оставляет на месте три точки $A$, $B$, $C$, не лежащие на одной прямой, оно оставляет на месте вообще всё — то есть является тождественным ($\mathrm{id}$). Перетащите $A$, $B$, $C$ и пробную точку $P$: три окружности радиусов $|AP|$, $|BP|$, $|CP|$ вокруг гвоздей пересекаются ровно в одной точке — самой $P$. Значит, никакая другая точка не может быть образом $P$ при движении, сохраняющем $A,B,C$.
Раз три неподвижные точки не на одной прямой — это всегда $\mathrm{id}$, разберём более скромные случаи по убыванию.
Две неподвижные точки. Это не случайность из вырожденного случая выше, а общий факт — лемма о двух точках: если движение оставляет на месте различные $A$ и $B$, оно оставляет на месте всю прямую $AB$ — для точки $C$ на этой прямой обязано сохраниться равенство длин ($|AC|+|CB|=|AB|$), а для точки вне прямой оно превратилось бы в строгое неравенство. При этом третьей неподвижной точки вне этой прямой быть не может: иначе, по теореме выше, неподвижным оказалось бы вообще всё. Значит, если движение не тождественно, но неподвижна хотя бы пара точек, неподвижна ровно вся прямая через них и ничего сверх того — это отражение относительно неё.
Одна неподвижная точка. Вторую движение зафиксировать уже не может — по той же лемме тогда зафиксировалась бы целая прямая. Это поворот вокруг неё — вы уже видели его в §2.
Ни одной неподвижной точки. Один пример у нас уже есть — ненулевой перенос. Но, как выясняется дальше, это не единственный ответ: есть ещё один, четвёртый вид движения.
Композиция отражения и сдвига вдоль его же оси — тоже движение без единой неподвижной точки, но её нельзя свести ни к переносу, ни к повороту, ни к простому отражению. Это и есть обещанный четвёртый, самостоятельный вид — скользящая симметрия.
Что получится, если сначала выполнить движение из строки, а затем — из столбца (порядок «строка∘столбец», как и в таблице композиций для прямой). Две ячейки на диагонали неоднозначны: их конкретный исход зависит от параметров, а не только от класса.
| $\rightrightarrows$ перенос | $\circlearrowleft$ поворот | $\leftharpoonup\leftharpoondown$ скользящая симметрия | |
|---|---|---|---|
| $\rightrightarrows$ перенос | $\rightrightarrows$ перенос | $\circlearrowleft$ поворот | $\leftharpoonup\leftharpoondown$ скользящая симметрия |
| $\circlearrowleft$ поворот | $\circlearrowleft$ поворот | $\rightrightarrows$ перенос или $\circlearrowleft$ поворот | $\leftharpoonup\leftharpoondown$ скользящая симметрия |
| $\leftharpoonup\leftharpoondown$ скользящая симметрия | $\leftharpoonup\leftharpoondown$ скользящая симметрия | $\leftharpoonup\leftharpoondown$ скользящая симметрия | $\rightrightarrows$ перенос или $\circlearrowleft$ поворот |
Композиция двух скользящих симметрий — это перенос, если их оси параллельны, и поворот (на удвоенный угол между осями), если оси пересекаются — совершенно как для двух обычных отражений: скользящая составляющая обеих симметрий в промежуточных выкладках сокращается. Тот же эффект даёт композицию поворот∘поворот: перенос, если сумма углов кратна $2\pi$, иначе поворот на эту сумму.
Всякое движение плоскости относится ровно к одному из трёх классов:
$\rightrightarrows$ перенос (в том числе нулевой — тождественное движение);
$\circlearrowleft$ поворот вокруг произвольного центра;
$\leftharpoonup\leftharpoondown$ скользящая симметрия — в том числе обычное отражение как случай нулевого сдвига.
Тождественное движение — это перенос на нулевой вектор; обычное отражение — это скользящая симметрия с нулевым сдвигом вдоль оси. Других движений плоскости не существует.
Разберём движения по числу неподвижных точек. На каждом шаге, если точек не хватает для уже разобранного случая, домножим движение на подходящее «исправляющее» движение — так, чтобы неподвижных точек стало на одну больше, — и сведём к предыдущему случаю. Лишние ветки, которые противоречили бы числу неподвижных точек исходного движения, отбросим с помощью таблицы композиций (§5).
Три и более неподвижные точки. Это теорема о трёх гвоздях (§3) — движение тождественно.
Ровно две. Разобрано там же (лемма о двух точках): неподвижна вся прямая $AB$ и ничего больше — это отражение $S_{AB}$.
Ровно одна, $O$. Возьмём любую $P\ne O$ и положим $P'=G(P)$. Так как $|OP|=|OP'|$, точки $P$ и $P'$ лежат на одной окружности с центром $O$; пусть $R$ — поворот вокруг $O$, переводящий $P'$ в $P$. Тогда $R\circ G$ сохраняет и $O$, и $P$ — уже две неподвижные точки, значит по предыдущему случаю $R\circ G=\mathrm{id}$ либо $R\circ G=S_{OP}$. Второй вариант невозможен: по таблице композиций поворот∘отражение с общей точкой $O$ — снова отражение через $O$, а у него неподвижна целая прямая, а не одна точка — противоречие условию. Остаётся $G=R^{-1}$ — поворот вокруг $O$.
Ни одной. Возьмём любую точку $O$, положим $A=G(O)\ne O$ и пусть $T$ — перенос, возвращающий $A$ в $O$. Тогда $T\circ G$ сохраняет $O$, значит по уже разобранным случаям это $\mathrm{id}$, поворот вокруг $O$ или отражение относительно некоторой прямой $m\ni O$. Ветка «поворот» невозможна: по таблице перенос∘поворот — снова поворот, а у него неизбежно есть неподвижный центр, что противоречит отсутствию неподвижных точек у $G$. Ветка «$\mathrm{id}$» даёт $G=T^{-1}$ — перенос (ненулевой, раз $A\ne O$). Ветка «отражение $S_m$» даёт $G=T^{-1}\circ S_m$: по таблице перенос∘отражение — снова отражение (если перенос идёт вдоль $m$, но тогда опять неподвижна целая прямая — противоречие) или скользящая симметрия с осью, параллельной $m$, и ненулевым сдвигом вдоль неё — только этот исход не даёт неподвижных точек.
Все четыре случая исчерпывают возможности — это и есть теорема Шаля.
На картинке — исходный флажок (бледный контур) и его образ (синий) под действием одного конкретного движения. Прежде чем открыть ответ — какой это класс: перенос, поворот или скользящая симметрия?
Ответ: это скользящая симметрия — флажок одновременно отразился (поменял «сторону») и сдвинулся вдоль оси отражения. Ни перенос, ни поворот в одиночку так не смогли бы: перенос не меняет ориентацию флажка, а поворот оставляет на месте свой центр.
Между теоремой Шаля и таблицей композиций есть более сильный факт: отражение — не один из четырёх классов, а «строительный блок» для всех остальных.
Любое движение плоскости — композиция не более чем трёх осевых симметрий: $\mathrm{id}$ — пустая композиция (0 отражений); перенос и поворот — ровно два; отражение — одно; скользящая симметрия — три.
Это тот самый факт про поворот∘отражение и перенос∘отражение, на который мы уже ссылались в доказательстве теоремы Шаля (§6) — вот как он выглядит в картинках. Отражение относительно $l_1$, затем относительно $l_2$: если оси пересекаются в точке $O$ под углом $\theta$ (от $l_1$ к $l_2$) — результат поворот вокруг $O$ на $2\theta$; если оси параллельны и расстояние между ними $d$ — результат перенос на $2d$ перпендикулярно осям, от $l_1$ к $l_2$.
$\theta$ = —, поворот на $2\theta$ = — вокруг $O$.
Добавить третье отражение с любой осью уже не может снова дать собственное движение: по таблице композиций (§5) чётность числа отражений определяет род результата — нечётное число всегда даёт отражение или скользящую симметрию.
Если считать плоскость полем комплексных чисел, каждое движение записывается одной формулой. Сложение с числом — это перенос; умножение на число с $|a|=1$ — поворот вокруг нуля; сопряжение $\bar z$ — отражение от вещественной оси. Собирая эти операции вместе, получаем всё семейство:
$f(z) = az + b$, $|a|=1$ — собственные движения (перенос, поворот): $a=1$ — перенос на вектор $b$; $a\ne1$ — поворот на угол $\arg a$ вокруг точки $z_0=b/(1-a)$.
$f(z) = a\bar z + b$, $|a|=1$ — несобственные движения (отражение, скользящая симметрия).
Что если снять ограничение $|a|=1$? Тогда коэффициент $a$ перестаёт быть чистым поворотом/сопряжением — появляется растяжение, и мы попадаем в мир подобий. Разбор — в отдельном материале «Подобия плоскости: гомотетия и поворотная гомотетия».
Настройте движение и посмотрите на его формулу — сначала как она вычисляется из геометрических параметров, потом как выглядит в раскрытом виде.
Соберите $g$ (применяется первым) и $f$ (применяется вторым) — ниже сразу появится $f\circ g$: класс результата, его формула и параметры, посчитанные из алгебры, а не подобранные на глаз.
Если движение задано не геометрическими параметрами осей и векторов, а образами конкретных точек, его комплексную формулу можно восстановить алгебраически. Для этого достаточно двух или трёх точек.
Когда заранее известно, сохраняет движение ориентацию или меняет, для однозначного задания достаточно двух различных точек $z_1, z_2$ и их образов $w_1, w_2$.
Для собственного движения ($w = az + b$) коэффициенты находятся из линейной системы:
$$a = \frac{w_2 - w_1}{z_2 - z_1}, \quad b = \frac{w_1 z_2 - w_2 z_1}{z_2 - z_1}$$Для несобственного движения ($w = a\bar{z} + b$) в знаменателях появляется сопряжение:
$$a = \frac{w_2 - w_1}{\bar{z}_2 - \bar{z}_1}, \quad b = \frac{w_1 \bar{z}_2 - w_2 \bar{z}_1}{\bar{z}_2 - \bar{z}_1}$$Двух точек в этом случае не хватит: они оставляют неоднозначность. Существует ровно одно собственное и ровно одно несобственное движение, переводящие направленный отрезок $z_1z_2$ в $w_1w_2$. Потребуется третья точка $z_3$, не лежащая на прямой через первые две, и её образ $w_3$.
Алгоритм проверки простой: по $z_1, z_2$ вычисляются коэффициенты $a, b$ в предположении, что движение собственное. Если для третьей точки выполняется равенство $w_3 = a z_3 + b$, гипотеза подтверждается. Если тождество не сошлось — движение гарантированно несобственное, и коэффициенты нужно пересчитать по формулам для $\bar{z}$.
У каждого собственного движения $z\mapsto az+b$ есть линейная часть $z\mapsto az$ ($|a|=1$) — отображение, получаемое отбрасыванием сдвига $b$; она аддитивна и однородна, то есть является линейным оператором на $\R^2\cong\C$. Общая теория таких операторов, их матриц и алгебры — в материале «От модуля к оператору», §6 которого возвращается сюда и в «Подобия плоскости» с матричной классификацией.