Теория множеств · Основания математики
ZFC, NBG, ZFA и NF — четыре ответа на вопрос, что такое множество. Системы различаются тем, существует ли универсум как объект, допустимы ли классы, обязано ли отношение принадлежности быть фундированным, каким ограничением свёртывания блокируется парадокс Рассела и допустимы ли импредикативные определения; из этих решений вытекают различия в теореме Кантора, в ординалах и в статусе аксиомы выбора. Две конечные модели обозначают границы спектра.
Выражение «теория множеств» обозначает не одну аксиоматическую систему, а семейство систем в общем языке — первопорядковом языке с единственным нелогическим символом $\in$ (в NBG к нему добавляется сорт классов). Все они возникли в ответ на одну проблему: наивный принцип свёртывания, согласно которому всякое свойство $\varphi(x)$ задаёт множество $\{x:\varphi(x)\}$, противоречив. При $\varphi(x)\equiv x\notin x$ он даёт множество $R$ с $R\in R\leftrightarrow R\notin R$ (Рассел, 1901). Свёртывание необходимо ограничить, а способ ограничения математикой однозначно не определяется: он выражает представление о том, что такое множество.
Выбор системы складывается из решений по нескольким независимым осям.
Таблица сопоставляет четыре стандартные системы — ZFC, NBG, ZFA в смысле Акцеля и NF — с двумя конечными $\in$-структурами. Пусть $\Omega$ — атом Куайна, то есть множество, для которого $\Omega=\{\Omega\}$, и
где отношение принадлежности в обеих структурах состоит из единственной пары: $\Omega\in\Omega$. Полные теории $\mathrm{Th}(M_1)$ и $\mathrm{Th}(M_2)$ на роль оснований математики не претендуют. Они служат контрольными случаями: в конечной модели каждое утверждение проверяется непосредственно, и потому видно, какое следствие держится на какой аксиоме (§ 4).
Точкой отсчёта служит ZFC — кумулятивный универсум фон Неймана; цвет метки показывает положение остальных систем относительно неё.
| Характеристика | ZFCЦермело–Френкель + выборитеративная концепция | NBGфон Нейман–Бернайс–Гёдельограничение размера | ZFA$\mathrm{ZFC}^-+\mathrm{AFA},$ антифундирование Акцеляциклы допустимы | NFNew Foundations, Куайнвсё — множество | $\mathrm{Th}(M_1)$одноточечная модель $\{\Omega\}$универсум без выделения | $\mathrm{Th}(M_2)$двухточечная модель $\{\varnothing,\Omega\}$выделение без универсума |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Ключевой запрет языка | ограниченное свёртываниеНет свёртывания $\{x:\varphi(x)\}$ без ограничения: переменная свёртывания пробегает уже данное множество, $\{x\in A:\varphi(x)\}.$ | класс не слева от $\in$В двусортном языке атомарны лишь $x\in y$ и $x\in X$: класс не может быть элементом. Свёртывание классов по размеру не ограничено. | как в ZFCОграниченное свёртывание; AFA расширяет запас множеств, но нового синтаксического запрета не вводит. | стратификацияСвёртывание $\{x:\varphi\}$ — только для стратифицируемых $\varphi:$ ограничена форма формулы, а не её область. | запрета нетЯзык тот же, $\{\in\}$, без синтаксических ограничений; всё, чего нет, отсутствует в самой структуре. | |
| Статус универсума $V$ | не множество$\mathrm{ZFC}\vdash\neg\exists v\,\forall x\,(x\in v).$ «Класс» $V$ — сокращение формулы $x=x;$ $V=\bigcup_\alpha V_\alpha.$ | собственный класс$V$ и $\mathrm{On}$ — объекты второго сорта, но не элементы. | не множествоКак в ZFC; $\mathrm{WF}\subsetneq V,$ так как $\Omega\notin\mathrm{WF}.$ | множество, $V\in V$$V=\{x:x=x\}$ задаётся стратифицированной формулой. | множество, $V=\Omega$Носитель $\{\Omega\}$ совпадает с $\Omega,$ поэтому $V\in V.$ | не элемент моделиНоситель — $\{\varnothing,\Omega\},$ но $\Omega=\{\Omega\}\ne\{\varnothing,\Omega\}.$ |
| Фундирование / регулярность | даИсключает $x\in x,$ $\in$-циклы и бесконечные убывающие $\in$-цепи; равносильно $V=\mathrm{WF}.$ | даВ форме для классов: всякий непустой класс имеет $\in$-минимальный элемент. | нет → AFAВсякий граф имеет единственную декорацию; бисимилярные множества равны. | нет$V\in V.$ | нет$\Omega\in\Omega.$ | нетУ $\Omega=\{\Omega\}$ нет $\in$-минимального элемента. |
| Блокировка парадокса Рассела | выделениеТолько из готового множества: $\{x\in A:x\notin x\}\notin A;$ следовательно, универсального множества нет. | собственный классКласс Рассела $\{x:x\notin x\}$ существует, но элементом быть не может. | выделениеКак в ZFC; фундирование в аргументе не участвует. | стратификацияФормула $x\notin x$ нестратифицируема, свёртывание к ней неприменимо. | выделения нет$\{x\in\Omega:x\notin x\}=\varnothing$ отсутствует, поэтому универсальное множество не ведёт к противоречию. | выделениеВыделение выполнено, и по аргументу Рассела универсального множества нет. |
| Теорема Кантора | верна$|A|<|\mathcal P(A)|.$ | для множествДля собственных классов неверна: при глобальном выборе все они равномощны. | вернаДиагональный аргумент не использует фундирования. | ограничена$\mathcal P(V)=V;$ верно $|\mathcal P_1(A)|<|\mathcal P(A)|,$ где $\mathcal P_1(A)=\{\{a\}:a\in A\}.$ | ложна$\mathcal P(\Omega)=\Omega,$ и $\Omega=\{\langle\Omega,\Omega\rangle\}$ — биекция $\Omega$ на $\mathcal P(\Omega).$ | без степениСтепеней нет; диагональная форма верна, так как выделение выполнено. |
| Предикативность | импредикативнаВыделение по формулам с кванторами по всему $V;$ $\mathcal P(A)$ — совокупность всех подмножеств. | предикативна по классамСвёртывание классов с кванторами только по множествам; консервативна над ZFC. Импредикативный вариант MK сильнее. | импредикативнаКак ZFC. | импредикативнаКванторы стратифицированных формул пробегают $V,$ а $V$ — множество. | неприменимоТеории заданы моделями, а не принципами построения множеств. | |
| Определение ординалов | фон НейманТранзитивное множество, вполне упорядоченное отношением $\in;$ $\alpha=\{\beta:\beta<\alpha\}.$ | фон Нейман$\mathrm{On}$ — собственный класс (парадокс Бурали-Форти). | фон НейманТе же, что в ZFC, и лежат в $\mathrm{WF};$ ослабленное определение пропускает $\Omega=\{\Omega\}.$ | Фреге–РасселОрдинал — множество всех изоморфных вполне упорядочений; множество всех ординалов существует. | нетОрдиналов нет: даже $0=\varnothing$ отсутствует. | только $0$Единственный ординал — $\varnothing;$ $1=\{\varnothing\}$ отсутствует. |
| Аксиома выбора (AC) | даПостулируется; независима от ZF (Гёдель, 1938; Коэн, 1963). | глобальный выборКласс-функция выбора на $V;$ консервативно над ZFC (Фельгнер, 1971). | даСовместна с AFA. | опровергается$V$ нельзя вполне упорядочить (Шпеккер, 1953); отсюда NF доказывает бесконечность. | тривиально$\Omega=\{\langle\Omega,\Omega\rangle\}$ — функция выбора для $\Omega.$ | тривиальноФункции выбора — $\varnothing$ и $\Omega.$ |
| Базовые аксиомыпустое, пара, объединение, степень, выделение | $\varnothing$ ✓пара ✓$\bigcup$ ✓$\mathcal P$ ✓выд. ✓ | $\varnothing$ ✓пара ✓$\bigcup$ ✓$\mathcal P$ ✓выд. ✓для множеств | $\varnothing$ ✓пара ✓$\bigcup$ ✓$\mathcal P$ ✓выд. ✓ | $\varnothing$ ✓пара ✓$\bigcup$ ✓$\mathcal P$ ✓выд. ±выделение — только стратифицированное; зато есть дополнения $V\setminus A$ | $\varnothing$ ✗пара ✓$\bigcup$ ✓$\mathcal P$ ✓выд. ✗ | $\varnothing$ ✓пара ✗$\bigcup$ ✓$\mathcal P$ ✗выд. ✓ |
$\mathcal P(A)$ — множество всех подмножеств $A$; $\mathcal P_1(A)=\{\{a\}:a\in A\}$ — множество синглетонов; $V_0=\varnothing$, $V_{\alpha+1}=\mathcal P(V_\alpha)$, $V_\lambda=\bigcup_{\alpha<\lambda}V_\alpha$ — кумулятивная иерархия, $\mathrm{WF}=\bigcup_\alpha V_\alpha$ — класс фундированных множеств; $\langle a,b\rangle=\{\{a\},\{a,b\}\}$ — пара по Куратовскому. $\mathrm{ZFC}^-$ — ZFC без аксиомы фундирования (обозначение Акцеля; в другой традиции так обозначают ZFC без аксиомы степени). Аббревиатура ZFA употребляется и для ZF с праэлементами (атомами) — в этом смысле она использована в материале «Иерархия теорий арифметики второго порядка»; здесь $\mathrm{ZFA}=\mathrm{ZFC}^-+\mathrm{AFA}$. Столбцы $\mathrm{Th}(M_1)$ и $\mathrm{Th}(M_2)$ разобраны в § 4.
Каждая система блокирует парадокс Рассела ограничением определённого вида. В ZFC и ZFA язык допускает любые формулы, а ограничение относится к схеме свёртывания: определяемая совокупность выделяется из уже данного множества. В двусортной NBG запрет встроен в сам синтаксис: атомарные формулы имеют вид $x\in y$ и $x\in X$, где строчные переменные пробегают множества, а прописные — классы, так что класс слева от $\in$ не стоит; свёртывание классов при этом ограничено не по размеру, а по кванторам (см. «Предикативность»). В односортных изложениях NBG тот же запрет формулируется аксиомой: всякий элемент есть множество. В NF ограничена форма формулы свёртывания — она должна быть стратифицируема, — тогда как область свёртывания не ограничена. У $\mathrm{Th}(M_1)$ и $\mathrm{Th}(M_2)$ синтаксических запретов нет: недостающие множества просто отсутствуют в структуре.
В ZFC существование универсального множества опровергается. Если $\forall x\,(x\in v)$, то по схеме выделения существует $R=\{x\in v:x\notin x\}$; поскольку $R\in v$, получаем $R\in R\leftrightarrow R\notin R$. Выражения «класс $V$», «класс $\mathrm{On}$» допустимы в ZFC лишь как сокращения формул ($x=x$, «$x$ — ординал»); такие совокупности называются виртуальными классами (Куайн, 1963).
NBG делает классы объектами второго сорта: $V$ и $\mathrm{On}$ существуют, но элементами не бывают. В NF совокупность $\{x:x=x\}$ задаётся стратифицированной формулой, поэтому $V$ — множество и $V\in V$; дополнение $V\setminus A$ любого множества $A$ — тоже множество. В $M_1$ универсумом служит сам $\Omega$; в $M_2$ носитель $\{\varnothing,\Omega\}$ элементом модели не является.
Аксиома фундирования (регулярности): всякое непустое множество $x$ содержит элемент $y$ с $y\cap x=\varnothing$. При остальных аксиомах ZF она равносильна равенству $V=\mathrm{WF}$: каждое множество $x$ имеет ранг — наименьший ординал $\alpha$ с $x\subseteq V_\alpha$. Фундирование исключает $x\in x$ (иначе у множества $\{x\}$ не было бы $\in$-минимального элемента), конечные циклы $x_0\in x_1\in\dots\in x_n\in x_0$ и бесконечные убывающие цепи $\dots\in x_2\in x_1\in x_0$. Ей же равносильна схема индукции по $\in$, обобщающая трансфинитную индукцию по ординалам. Кумулятивная иерархия разобрана в конспекте главы C1 «Рай для математиков» книги «Математика как иностранный», трансфинитная индукция — в материале «О математической индукции».
Отказ от фундирования не затрагивает математику, строящуюся внутри ZFC: класс $\mathrm{WF}$ остаётся моделью ZFC и содержит все стандартные объекты — числа, функции, пространства. Меняется лишь то, что лежит вне $\mathrm{WF}$.
Декорацией ориентированного графа $G$ называется отображение $d$, сопоставляющее каждой вершине $a$ множество $d(a)=\{d(b):a\to b\}$. AFA: всякий граф имеет ровно одну декорацию.
Граф из одной вершины с петлёй даёт уравнение $x=\{x\}$; по AFA оно имеет единственное решение $\Omega$, так что атом Куайна существует и единствен. Множества, декорирующие бисимилярные графы, равны (сильная экстенсиональность): система $x=\{y\}$, $y=\{x\}$ имеет единственное решение $x=y=\Omega$, поскольку граф из двух вершин, ссылающихся друг на друга, бисимилярен петле. Теория $\mathrm{ZFA}=\mathrm{ZFC}^-+\mathrm{AFA}$ содержит аксиому выбора и равнонепротиворечива с ZFC.
Предложение $\neg\exists R\,\forall x\,(x\in R\leftrightarrow x\notin x)$ — теорема чистой логики первого порядка: оно истинно в любой структуре, в том числе в $M_1$ и $M_2$. Системы различаются не тем, «избегают» ли они парадокса, а тем, какой принцип свёртывания сохраняют. Наивное свёртывание и переход от него к наследственно конечным множествам разобраны в конспекте главы B2 «Фундамент математики» той же книги.
Формула стратифицируема, если её переменным можно приписать целые числа — типы — так, что в каждой атомарной подформуле $x\in y$ тип $y$ на единицу больше типа $x$, а в подформуле $x=y$ типы равны. Аксиомы NF: экстенсиональность и схема $\exists y\,\forall x\,(x\in y\leftrightarrow\varphi)$ для каждой стратифицируемой формулы $\varphi$, не содержащей $y$ свободно.
Формулы $x=x$ и $x\notin A$ стратифицируемы — отсюда $V$ и дополнения; формула $x\notin x$ — нет.
Диагональное доказательство использует только выделение: для $f\colon A\to\mathcal P(A)$ множество $D=\{x\in A:x\notin f(x)\}$ не лежит в образе $f$, поскольку из $D=f(d)$ следует $d\in D\leftrightarrow d\notin D$. Поэтому теорема верна в ZFC и в ZFA независимо от фундирования. В NBG она относится к множествам; для собственных классов аналога нет: при глобальном выборе все собственные классы равномощны.
В NF условие $x\notin f(x)$ для $f\colon A\to\mathcal P(A)$ нестратифицируемо: запись $\langle x,y\rangle\in f$ требует равенства типов $x$ и $y=f(x)$, а $x\notin y$ — различия на единицу. Для $f\colon\mathcal P_1(A)\to\mathcal P(A)$ диагональное условие $a\notin f(\{a\})$ стратифицируемо, и доказательство проходит: $|\mathcal P_1(A)|<|\mathcal P(A)|$. Отображение $a\mapsto\{a\}$ в NF, вообще говоря, множеством не является, поэтому $|A|$ и $|\mathcal P_1(A)|$ могут различаться. При $A=V$ имеем $\mathcal P(V)=V$ и $|\mathcal P_1(V)|<|V|$: синглетонов строго меньше, чем множеств.
Определение импредикативно, если определяемый объект задаётся квантором по совокупности, которой сам принадлежит. Пуанкаре (1906) и Рассел (1908) видели в таких определениях источник парадоксов (принцип порочного круга); в книге Вейля «Das Kontinuum» (1918) значительная часть анализа построена предикативно; точная граница предикативности при заданном натуральном ряде — ординал $\Gamma_0$ (Феферман, 1964; Шютте, 1965).
ZFC импредикативна в двух отношениях. Формула в схеме выделения может содержать кванторы по всему универсуму, включая определяемое множество. Аксиома степени постулирует совокупность всех подмножеств, в частности $\mathcal P(\N)$, как завершённое целое. ZFA и NF импредикативны в том же смысле; в NF кванторы стратифицированной формулы пробегают $V$, а $V$ — множество.
NBG предикативна по классам: в свёртывании классов кванторы пробегают лишь множества. Поэтому схема свёртывания заменяется конечным числом аксиом (NBG конечно аксиоматизируема), и NBG консервативна над ZFC: утверждение о множествах доказуемо в NBG тогда и только тогда, когда оно доказуемо в ZFC. Импредикативное свёртывание классов даёт теорию Морса–Келли (MK) — строго более сильную: MK доказывает непротиворечивость ZFC. Таким образом, классы как объекты не меняют теории множеств, а импредикативные классы её усиливают.
В предикативной программе Фефермана основная часть научно применимого анализа развивается в системах, консервативных над арифметикой Пеано (система W, 1988). Иерархия предикативных и импредикативных систем разобрана в материале «Иерархия теорий арифметики второго порядка», предикативный анализ Вейля — в «Уровнях формализации математического анализа».
По фон Нейману (1923) ординал — транзитивное множество, строго вполне упорядоченное отношением $\in$; каждый ординал совпадает с множеством меньших ординалов: $\alpha=\{\beta:\beta<\alpha\}$. Совокупность всех ординалов $\mathrm{On}$ множеством быть не может (парадокс Бурали-Форти): в ZFC это виртуальный класс, в NBG — собственный класс. В ZFA ординалы те же, что в ZFC, и все лежат в $\mathrm{WF}$. Однако определения, равносильные при фундировании, без него расходятся: условию «транзитивное множество транзитивных множеств» в ZFA удовлетворяет и множество $\Omega=\{\Omega\}$, не являющееся ординалом.
В NF уже условие транзитивности $\forall y\in x\;\forall z\in y\;(z\in x)$ нестратифицируемо (типы $x$ и $z$ должны различаться одновременно на $1$ и на $2$), так что стратифицированное свёртывание не даёт множества фон-неймановских ординалов. Ординалы определяются по Фреге и Расселу: ординал — множество всех вполне упорядочений, изоморфных данному; так же кардинал — множество всех множеств, равномощных данному, а натуральное число $n$ — множество всех $n$-элементных множеств. Множество всех ординалов существует; тип его естественного упорядочения обозначим $\Theta$ (в литературе по NF — $\Omega$; здесь эта буква занята атомом Куайна).
Парадокс Бурали-Форти снимается тем, что ординалы, меньшие $\Theta$, образуют собственный начальный отрезок этого упорядочения и потому имеют тип, строго меньший $\Theta$: равенство «тип $\{\beta:\beta<\alpha\}$ равен $\alpha$», тривиальное для ординалов фон Неймана, нестратифицируемо и при $\alpha=\Theta$ неверно. Его стратифицированный вариант выражается через операцию $T$, поднимающую тип упорядочения на один уровень, и даёт убывающую цепочку $\Theta>T(\Theta)>T^2(\Theta)>\dots$, которая множеством не является. Извне эта цепочка бесконечна; поэтому ни в одной модели NF порядок на ординалах не фундирован с точки зрения метатеории (Россер и Ван, 1950).
В ZFC выбор постулируется отдельной аксиомой; она не зависит от остальных аксиом ZF (Гёдель, 1938; Коэн, 1963). В NBG обычно принимается глобальный выбор — существование класса-функции, выбирающей элемент из каждого непустого множества (Гёдель, 1940); такое расширение консервативно над ZFC (Фельгнер, 1971). В системе фон Неймана (1925) глобальный выбор не постулируется отдельно, а следует из аксиомы ограничения размера: класс является собственным тогда и только тогда, когда его можно отобразить на $V$. Из той же аксиомы следуют выделение и замещение, но не аксиома степени: ограничение размера само по себе не обеспечивает существования $\mathcal P(A)$.
AFA с выбором совместна. В NF выбор опровергается: универсум нельзя вполне упорядочить (Шпеккер, 1953); как следствие, NF доказывает аксиому бесконечности. Вариант NFU, допускающий праэлементы, непротиворечив относительно систем значительно более слабых, чем ZFC, и совместим с выбором (Йенсен, 1969). Непротиворечивость самой NF оставалась открытой с 1937 года; доказательство Холмса и Уилшоу строит модель «спутанной» теории типов TTT, непротиворечивость которой равносильна непротиворечивости NF, и проверено в системе Lean (2024).
Отличие NF от остальных бесконечных систем — в выделении: из множества $A$ выделяется лишь подмножество, заданное стратифицируемым условием; так, $\{x\in V:x\notin x\}$ не существует. Взамен NF содержит множества, невозможные в ZFC: $V$, дополнения, множество всех ординалов, множество всех кардиналов. Выполнение базовых аксиом в $M_1$ и $M_2$ проверено в § 4.
Модели $M_1=\langle\{\Omega\};\in\rangle$ и $M_2=\langle\{\varnothing,\Omega\};\in\rangle$, где $\Omega=\{\Omega\}$, проверяются полным перебором: в конечной структуре всякое подмножество носителя определимо с параметрами, поэтому схемы выделения и замещения сводятся к конечному числу проверок.
| Аксиома | $M_1=\{\Omega\}$ | $M_2=\{\varnothing,\Omega\}$ |
|---|---|---|
| Экстенсиональность | ✓ | ✓ — $\varnothing$ и $\Omega$ различаются элементами |
| Пустое множество | ✗ — единственный элемент $\Omega$ непуст | ✓ |
| Пара | ✓ — $\{\Omega,\Omega\}=\Omega$ | ✗ — $\{\varnothing\}$ отсутствует |
| Объединение | ✓ — $\bigcup\Omega=\Omega$ | ✓ |
| Степень | ✓ — $\mathcal P(\Omega)=\Omega$ | ✗ — $\mathcal P(\varnothing)=\{\varnothing\}$ отсутствует |
| Выделение | ✗ — $\{x\in\Omega:x\ne x\}=\varnothing$ отсутствует | ✓ — подмножества $\varnothing$ и $\Omega$ исчерпываются $\varnothing$ и $\Omega$ |
| Замещение | ✓ | ✗ — образ $\Omega$ при $x\mapsto\varnothing$ равен $\{\varnothing\}$ |
| Бесконечность: $\exists x\,(\varnothing\in x\wedge\forall y\in x\,(y\cup\{y\}\in x))$ | ✗ | ✗ |
| Фундирование | ✗ | ✗ |
| Выбор | ✓ | ✓ |
| Универсальное множество | ✓ — $\Omega$ | ✗ |
Развилка Рассела в миниатюре. Выделение и универсальное множество несовместимы: из выделения аргумент Рассела выводит $\{x\in A:x\notin x\}\notin A$ для всякого $A$. Модели $M_1$ и $M_2$ реализуют две стороны этой развилки. В $M_1$ универсальное множество $\Omega$ есть, а выделение нарушено: $\{x\in\Omega:x\notin x\}=\varnothing$ в модели отсутствует. В $M_2$ выделение выполнено, и универсального множества нет: $\{x\in\Omega:x\notin x\}=\varnothing\notin\Omega$. Тот же выбор в полном масштабе разделяет ZFC (полное выделение, универсума нет) и NF (универсум есть, выделение ограничено стратификацией).
Теорема Кантора. В $M_1$ пара по Куратовскому вырождается: $\langle\Omega,\Omega\rangle=\{\{\Omega\},\{\Omega,\Omega\}\}=\{\Omega\}=\Omega$. Поэтому $\Omega=\{\langle\Omega,\Omega\rangle\}$ — функция с областью определения $\Omega$, а так как $\mathcal P(\Omega)=\Omega$, она биективно отображает $\Omega$ на $\mathcal P(\Omega)$: теорема Кантора ложна. Диагональное множество $\{x\in\Omega:x\notin f(x)\}$ было бы пустым и в модели отсутствует — опровержение держится на отсутствии выделения. В $M_2$ степеней нет: $\mathcal P(\varnothing)=\{\varnothing\}$ и $\mathcal P(\Omega)=\{\varnothing,\Omega\}$ не являются элементами модели, так что формулировка $|A|<|\mathcal P(A)|$ беспредметна. Формулировка без степени — для всякой функции $f$ с областью определения $A$ найдётся $B\subseteq A$, не лежащее в образе $f$, — верна: функциями в $M_2$ являются лишь $\varnothing$ и $\Omega$, и для $f=\Omega$ подходит $B=\varnothing$. Это снова следствие выделения.
Фундирование и выбор. В обеих моделях множество $\Omega=\{\Omega\}$ не имеет $\in$-минимального элемента. Существенно, что множество $\{\Omega\}$ присутствует в модели: без аксиомы пары регулярность не влечёт $x\notin x$. Если заменить $\Omega$ элементом $\Omega'=\{\varnothing,\Omega'\}$, то в структуре $\langle\{\varnothing,\Omega'\};\in\rangle$ регулярность выполнена ($\varnothing$ — $\in$-минимальный элемент $\Omega'$), хотя $\Omega'\in\Omega'$. Выбор в $M_1$ и $M_2$ тривиален: единственное непустое семейство непустых множеств — $\Omega$, и $\Omega=\{\langle\Omega,\Omega\rangle\}$ — его функция выбора.
Ординалы и бесконечность. В $M_1$ ординалов нет: $\Omega$ транзитивно, но $\Omega\in\Omega$ нарушает строгость порядка, а $\varnothing$ отсутствует. В $M_2$ единственный ординал — $0=\varnothing$; уже $1=\{\varnothing\}$ отсутствует. Стандартная аксиома бесконечности нарушена в обеих моделях. Однако формулировка «существует непустое множество без $\in$-максимального элемента», $\exists x\,(\exists y\,(y\in x)\wedge\forall y\in x\;\exists z\in x\;(y\in z))$, равносильная стандартной при остальных аксиомах ZF, в обеих моделях выполнена: свидетель — $\Omega$. Без фундирования формулировки, эквивалентные в ZF, перестают быть эквивалентными.
Столбцы таблицы — следствия нескольких философских установок относительно природы множества и критериев допустимости математических объектов. В каждой карточке указаны столбцы и строки таблицы, в которых соответствующая установка проявляется.
Аксиоматизация 1908 года должна была обосновать теорему о вполне упорядочении (1904) и устранить антиномии. Её центральный принцип — выделение: свойство выделяет множество лишь внутри уже данного множества.
В работе «Über Grenzzahlen und Mengenbereiche» (1930) система дополнена аксиомами замещения и фундирования, универсум описан как кумулятивная иерархия, а её начальные отрезки $V_\kappa$ для сильно недостижимых $\kappa$ — как естественные модели. Универсум трактуется как неограниченная последовательность таких моделей, каждая из которых — множество в следующей; антиномии свидетельствуют об этой незавершённости, а не о дефекте понятия множества.
Письмо Фреге (1899): если произвольно заданные аксиомы не противоречат друг другу со всеми следствиями, то они истинны и определяемые ими объекты существуют. Гёттингенский аксиоматический метод — среда, в которой возникла система Цермело. Программа Гильберта (1920-е) требовала финитного доказательства непротиворечивости классической математики, включая канторовскую теорию множеств: «Из рая, который создал для нас Кантор, никто не сможет нас изгнать» (1926). Теоремы Гёделя о неполноте (1931) показали, что в исходной форме программа невыполнима: достаточно сильная непротиворечивая система не доказывает собственной непротиворечивости.
Гильбертова точка зрения задаёт измерение, по которому сопоставимы все столбцы, — относительную непротиворечивость: NBG консервативна над ZFC, ZFA равнонепротиворечива с ZFC, непротиворечивость NF долго оставалась открытой, а $\mathrm{Th}(M_1)$ и $\mathrm{Th}(M_2)$ непротиворечивы просто потому, что имеют модели.
Ординалы как транзитивные множества, вполне упорядоченные отношением $\in$ (1923). Аксиоматика 1925 года строится на понятии функции и допускает объекты, не являющиеся элементами, — будущие классы; аксиома ограничения размера (класс собственный тогда и только тогда, когда его можно отобразить на $V$) заменяет выделение, замещение и выбор единым принципом.
В 1929 году введена иерархия $V_\alpha$ и доказана относительная непротиворечивость фундирования: фундированные множества образуют модель остальных аксиом. Работы Бернайса (1937–1954) и Гёделя (1940) придали системе форму NBG.
NF (1937) получена из простой теории типов Рассела «стиранием» типов: от типизации остаётся лишь требование, чтобы формула свёртывания её допускала (стратификация). Объекты одного сорта, все они — множества; универсальное множество, дополнения, кардиналы и ординалы по Фреге–Расселу возвращаются в теорию.
Установка соответствует онтологической экономии Куайна («быть — значит быть значением связанной переменной», 1948): классы ZFC — лишь «виртуальные» сокращения формул. Книга «Set Theory and Its Logic» (1963) содержит систематическое сравнение конкурирующих систем — ZF, NBG, NF и ML.
Поводом к книге «Non-Well-Founded Sets» (1988) послужила теоретико-множественная семантика параллельных процессов Милнера (CCS): естественная модель процесса, ссылающегося на себя, нарушает фундирование. AFA, впервые изученная Форти и Хонселлом (1983), делает такие объекты законными: множество задаётся графом принадлежности, а равенство множеств — бисимуляцией графов.
Предшественники — различение «обыкновенных» и «необыкновенных» множеств у Мириманова (1917) и система Финслера (1926); применения — семантика самореферентных высказываний (Барвайс и Этчеменди, «The Liar», 1987) и коиндуктивные объекты информатики (Барвайс и Мосс, «Vicious Circles», 1996). Акцелю принадлежит также конструктивная теория множеств CZF (1978) — без аксиомы степени и с выделением лишь по формулам с ограниченными кванторами.
Натуральный ряд принимается как завершённая совокупность, $\mathcal P(\N)$ — нет. Граница предикативности при таком допущении — ординал $\Gamma_0$ (Феферман, 1964; Шютте, 1965). В работе «Weyl vindicated» (1988) показано, что система W, консервативная над арифметикой Пеано, достаточна для основной части научно применимого анализа; отсюда тезис о том, что импредикативные части теории множеств для приложений не нужны.
Скептическое отношение к определённости континуум-гипотезы (2011) продолжает ту же линию: понятие произвольного подмножества $\N$ не является вполне определённым, и вопросы, зависящие от полного $\mathcal P(\N)$, могут не иметь определённого ответа.
Принцип порочного круга сформулирован Пуанкаре (1906) и Расселом (1908); разветвлённая теория типов Рассела — общий предок предикативной программы и, через простую теорию типов, системы NF. Окончательная форма NBG принадлежит Бернайсу и Гёделю; центральные результаты о NF и NFU — Шпеккеру (1953) и Йенсену (1969); анализ итеративной концепции как обоснования аксиом ZFC — Булосу (1971).