«Ты произнес свои слова так, как будто ты не признаешь теней, а также и зла. Не будешь ли ты так добр подумать над вопросом: что бы делало твое добро, если бы не существовало зла, и как бы выглядела земля, если бы с нее исчезли тени?» М. Булгаков, «Мастер и Маргарита»
Если бы мир нельзя было разделить на классы, мы не смогли бы отличить друг от друга ни предметы, ни события, ни отношения между ними — вселенная схлопнулась бы в одну точку. Уровень A2 строит механизм этого разделения: что такое математическое понятие на самом деле, почему логика и наивная теория множеств оказываются двумя сторонами одной медали, и как отношения оттачиваются до порядков, эквивалентностей и функций.
Глава открывается упрёком Воланда персонажу Булгакова, который хочет добра без зла, света без тени — и превращает это в формальное наблюдение: если бы всё, что мы в принципе можем описать, нельзя было разбить хотя бы на два класса, мы бы принципиально не смогли различать предметы, события и отношения между ними. Логика в самом широком смысле, используемом здесь, — это как раз комплекс правил, который позволяет проводить такие различия: отделять существенное от несущественного и находить структуру в массиве знаний.
Но наивной логики синтаксиса — «правильные лексемы истинны, всё остальное ложно» — недостаточно: она умеет распознавать корректно построенные выражения, но ничего не говорит о мире, который они описывают. Нужна четырёхшаговая схема: построить фрагмент языка, определить в нём термы и формулы, задать правила вывода и объявить стартовый список аксиом — та же схема, которую книга затем снова и снова применяет к новым предметным областям.
Как только истина и ложь привязаны к выполнению предиката, обнаруживается яркая закономерность: каждая логическая связка, используемая для определения нового понятия, в точности соответствует теоретико-множественной операции над его объёмом.
Первые три соответствия очевидны: определите понятие как «$a$ удовлетворяет $\mathcal D_1$ и $\mathcal D_2$» — и его объём в точности равен $V_1\cap V_2$; замените и на или — пересечение станет объединением. Интересный случай — импликация, именно потому, что в математике она определена совсем иначе, чем в обыденной речи: формула $\mathcal D_1(a)\to\mathcal D_2(a)$ истинна не только когда выполнены оба свойства, но и для любого $a$, который просто не удовлетворяет $\mathcal D_1$, — истинна «пусто», подобно тому как «если пойдёт дождь, земля будет мокрой» тривиально истинно в солнечный день. Аккуратно вычислив объём, получаем, что импликации соответствует $(\mathcal U\setminus V_1)\cup V_2$; только в частном случае, когда импликация — тавтология, это сворачивается в простое включение $V_1\subseteq V_2$.
Именно это соответствие позволяет главе почти бесплатно ввести целый набор отношений. Отношение — это просто множество кортежей $\langle x,y\rangle$, удовлетворяющих некоторому свойству, и в зависимости от того, какими из рефлексивности, симметричности, транзитивности и антисимметричности оно обладает, получает своё имя: отношение эквивалентности (все три первых свойства) разбивает универсум на классы — «иметь общего отца» делит людей на группы братьев и сестёр; рефлексивное, антисимметричное, транзитивное отношение — это частичный порядок; добавьте связность — и получится линейный порядок. Всюду определённое и однозначное отношение — это просто функция: привычное $f:A\to B$ — лишь очень дисциплинированный вид множества.
Первые пять упражнений из блока задач главы, из русского издания.
Всего в уровне A2 — 22 упражнения, каждое с полным разобранным решением в приложении книги.