«Самое непостижимое в этом мире — то, что он постижим». Альберт Эйнштейн
Прежде чем читать математический текст, нужен алфавит — и правило, по которому его символы складываются во всё более сложные выражения. Уровень A1 и есть этот алфавит: он учит видеть внутреннюю архитектуру любой формулы независимо от того, понимаете ли вы уже, что она означает.
Глава открывается мысленным экспериментом: оснащённый ИИ зонд садится на экзопланету, населённую «математянами», которые общаются посредством замысловатых символов, рисуемых прямо в воздухе. Задача зонда — восстановить их язык с нуля: без словаря, без Розеттского камня, имея лишь наблюдаемые тексты.
Сначала он замечает, что язык одновременно алфавитен и идеографичен: одни символы повторяются постоянно, другие редки, но почти всегда раскладываются на более длинные алфавитные последовательности. Затем — кое-что важнее: у каждого сложного выражения внутренняя структура вложенной матрешки — простые символы встают в шаблоны, шаблоны встают в более крупные шаблоны, и потолка глубины не видно. Разобравшись со структурой, зонд переходит к семантике: предлагает интерпретации, проверяет их на непротиворечивость и строит переводчик в обе стороны — тот же маршрут, которым дальше глава ведёт читателя, символ за символом, уже на настоящей математической записи.
Лексема языка $\Math$ определяется рекурсивно, ровно двумя пунктами:
(i) любая независимая графема — в том числе символы алфавита — есть лексема; и
(ii) результат подстановки лексем в места-заполнители зависимой графемы есть лексема.
Посмотрим, как это работает. Возьмём знак сложения — зависимую графему с двумя числовыми местами-заполнителями — и подставим алфавитные символы $a$ и $b$:
То же самое с умножением даёт $c\cdot d$. Теперь возьмём знак сложения снова и подставим в его места-заполнители уже построенные лексемы:
Это и есть принцип матрешки: сложность растёт исключительно за счёт вложения, без верхней границы — тот же механизм позволяет писать пятиэтажную башню степеней $5^{4^{3^{2^1}}}$ или формулу Кардано для кубического уравнения, и при этом любое выражение однозначно разбирается обратно в дерево породивших его шаблонов. Эта однозначность — не просто удобство: именно из-за неё компилятор — или, сегодня, языковая модель, вынужденная восстанавливать синтаксис неявно, по статистике, — вообще способен восстановить структуру формулы.
Глава также проводит границу между предикатом (лексемой, обозначающей отношение — «$k$ имеет цвет $c$») и термом (лексемой, обозначающей объект — арифметическим выражением), а затем показывает, как одна и та же формула, не изменившись ни на символ, может описывать крокодилов озера Лох-Несс или нейтронные звёзды Млечного Пути. Родившись из какой-то конкретной семантики, формальная система от неё отделяется — именно поэтому одна и та же теорема, доказанная один раз, остаётся истинной всюду, где выполнены её аксиомы.
Первые пять упражнений из блока задач главы, из русского издания.
Всего в уровне A1 — 16 упражнений, каждое с полным разобранным решением в приложении книги.