Математическая статистика · Случайные ветвящиеся процессы
Процесс Гальтона–Ватсона
Справка
Процесс Гальтона–Ватсона — это вероятностная модель ветвящейся популяции.
Каждая частица независимо порождает случайное число потомков согласно
одному и тому же распределению. Ключевой параметр — математическое ожидание
числа потомков \(m = \mathbb{E}[\xi]\). При \(m < 1\) популяция гарантированно вымирает,
при \(m > 1\) с вероятностью \(1-q > 0\) она может расти неограниченно.
Живых в поколении T
—
Вымерших деревьев
Вымершее дерево
Дерево, которое не дожило до последнего поколения \(T\).
В докритическом режиме все деревья вырождаются с вероятностью 1.
—
Доля доминирующего дерева
Гигантская компонента
Эффект гигантской компоненты заключается в том, что с ростом номера поколения доля числа потомков какой-то одной частицы стремится к 100%.
—
q теоретическое
—
Распределение числа потомков ξ
Производящая функция
\[f(s) = \mathbb{E}[s^\xi] = e^{\lambda(s-1)}\]
Вероятность вырождения — наименьший корень \(f(q)=q\) в \([0,1]\).
Распределение объемов деревьев процесса (поколение T)
Дерево стартовой частицы
Все потомки одной стартовой частицы образуют её дерево.
Гистограмма показывает размер каждого дерева в поколении \(T\).
Лес процесса — деревья окрашены по стартовой частице