Зоопарк отображений между моделями
Частичный изоморфизм, вложение, элементарное вложение, изоморфизм, элементарная подмодель, автоморфизм, гомогенность, игра Эренфойхта–Фраиссе — одна картина.
Что здесь происходит
У всех понятий на этой странице — общий строительный материал: отображение \(f:A\to N\), где \(A\subseteq M\).
Каждое понятие получается как конъюнкция нескольких атомарных условий на это отображение
(какая у него область определения, инъективно ли оно, что именно оно обязано сохранять). А поверх определений
есть ключевые теоремы, которые связывают понятия уже не по определению, а содержательно —
это и есть настоящая математика этой темы.
сплошная граница карточки — понятие есть перечисленные условия, по определению
пунктир и цвет — теорема: из условий следует, но не по определению
Атомарные условия — из них всё собрано
fin — область определения конечна: \(|A|<\omega\)
partκ — область определения частична, ограничена кардиналом κ: \(A\subseteq M\), \(|A|<\kappa\)
tot — область определения тотальна: \(\operatorname{dom} f = M\)
inj — инъективность \(f\)
surj — сюръективность на \(N\) (биекция)
atom — сохраняет атомарные формулы (= сигнатуру)
allf — сохраняет все формулы (элементарность)
M=N — отображение модели в себя
M⊆N,id — \(M\subseteq N\), \(f=\mathrm{id}_M\)
ext — \(M,N\) произвольные (внешние) домены
inj здесь не самостоятельное условие: сохранение атомарной формулы \(x=y\) — это равносильность
\(a=b \iff f(a)=f(b)\), и обратная импликация \(f(a)=f(b)\Rightarrow a=b\) — это и есть инъективность.
Значит inj — автоматическое следствие atom (а тем более allf), а не независимая пометка.
По той же причине surj вместе с atom или allf сразу даёт биекцию, а не просто
сюръекцию — отсюда и «(биекция)» в описании surj выше.
1Уровень 1 — базовые понятия: домен + инъективность + глубина сохранения
Частичный изоморфизм
\(f:A\to N\)
partκatom
напр. любая конечная возрастающая \(f:A\to\Q\), \(A\subseteq\Q\)
Элементарное частичное отображение
\(f:A\to N\)
partκallf
Вложение
\(f:\mathcal M\hookrightarrow\mathcal N\)
totatom
Элементарное вложение
\(f:\mathcal M\preccurlyeq\mathcal N\)
totallf
Изоморфизм
\(f:\mathcal M\cong\mathcal N\)
totsurjatom
напр. \(x\mapsto x/2\): \(2\Z\cong\Z\) —
подробнее
Теорема (о сохранении при изоморфизмах): всякий изоморфизм автоматически сохраняет
все формулы, а не только атомарные — т.е. Изоморфизм ⟹ Элементарное вложение, хотя в определении
изоморфизма про элементарность ни слова.
2Уровень 2 — специализация по носителям
Элементарная подмодель
\(\mathcal M\preccurlyeq\mathcal N\), \(M\subseteq N\)
элем. вложение+ M⊆N,id
Собств. эл. самовложение
\(M\hookrightarrow M\), не биекция
элем. вложение+ M=N
Автоморфизм
\(\alpha\in \operatorname{Aut}(\mathcal M)\)
изоморфизм+ M=N
напр. \(\alpha(x)=x+c\) на \(\langle\Z;<\rangle\)
3Уровень 3 — третье измерение: продолжаемость («туда-сюда»)
\(\kappa\)-гомогенность
всякое \(f\) продолжается на \(A\cup\{c\}\)
эл. частичн. отобр.+ M=N
Сильная \(\kappa\)-гомогенность
всякое \(f\) продолжается до автоморфизма
эл. частичн. отобр.+ M=N+ автоморфизм
Игра ЭФ
част. изоморфизм продолжается «туда-сюда» \(\forall n<\omega\)
частичн. изоморфизм+ fin+ ext
Ключевые теоремы — элементарность, гомогенность, насыщенность
Теорема Эренфойхта–Фраиссе
Игра ЭФ выигрывается на всех раундах ⟹ \(\mathcal M\equiv\mathcal N\) (элементарная эквивалентность).
Моноорбитальность типов
Сильная гомогенность ⟹ \(\operatorname{Orb}_{\operatorname{Aut}(\mathcal M)}(\vec a) = P[\operatorname{tp}(\vec a)]\) — орбиты автоморфизмов совпадают с множествами реализаций типа.
Универсальность монстр-модели
Если \(\mathfrak M\models T\) и \(|M|<\kappa\), то существует элементарное вложение
\(f:\mathfrak M\preccurlyeq\mathfrak C\) в любую фиксированную \(\kappa\)-насыщенную модель
\(\mathfrak C\models T\) («монстр-модель»). Монстр-модель как бы стягивает в себя все модели \(T\)
ограниченной мощности — каждая из них живёт внутри \(\mathfrak C\) как элементарная подмодель.
Изоморфизм насыщенных моделей
\(\mathcal M,\mathcal N\) насыщены, одной мощности, \(\mathcal M\equiv\mathcal N\) ⟹ \(\mathcal M\cong\mathcal N\).
⟲ и мы возвращаемся к изоморфизму, с которого начинался Уровень 1 — круг замкнулся: синтаксис (ЭЭ) при насыщенности полностью определяет алгебру (изоморфизм).
Примеры — как это выглядит на конкретных моделях
\(\mathrm{id}:\Z\to\R\) — вложение без элементарности
Тождественное отображение из кольца \(\langle\Z;+,\cdot\rangle\) в поле \(\langle\R;+,\cdot\rangle\) сохраняет
сигнатуру и потому является вложением. Но формула \(\exists y(y\cdot y=x)\) истинна в \(\R\) при \(x=2\)
(свидетель \(\sqrt2\)), а в \(\Z\) — нет: у \(2\) попросту нет целого квадратного корня. Тип элемента \(2\)
меняется при переходе от \(\Z\) к \(\R\): \(\mathrm{id}\) — вложение, но не элементарное. Разница между
atom и allf в бейджах — это ровно такая формула с квантором.
\(2\Z\subseteq\Z\) — подмодель, но не элементарная
\(2\Z=\{\dots,-4,-2,0,2,4,\dots\}\) с теми же операциями — подмодель \(\langle\Z;+,\cdot\rangle\), и
отображение \(x\mapsto x/2\) задаёт изоморфизм \(2\Z\cong\Z\), а значит \(2\Z\equiv\Z\). Но тождественное
вложение \(\mathrm{id}:2\Z\subseteq\Z\) не элементарно: формула \(\exists y(y+y=x)\) («\(x\) делится на \(2\)»)
истинна в \(\Z\) при \(x=2\) (\(y=1\)), но ложна в самой \(2\Z\) при том же \(x=2\) — единственный кандидат
\(y=1\) не лежит в \(2\Z\). Существование какого-то элементарного вложения (изоморфизма) не делает
\(2\Z\) элементарной подмоделью — для этого нужна элементарность именно тождественного включения.
\(\Q\to\Q\) — собственное элементарное самовложение
На \(\langle\Q;<\rangle\) (в \(\mathrm{DLO}\) элементарность вложения сводится к сохранению порядка)
отображение \(f(x)=\dfrac{x}{1+|x|}\) строго возрастает и переводит \(\Q\) инъективно в
\((-1,1)\cap\Q\subsetneq\Q\). Значит \(f:\Q\hookrightarrow\Q\) сохраняет все формулы, но не сюръективно —
собственное элементарное самовложение, без всякой трансфинитной конструкции.
\(\langle\Z;<\rangle\) — гомогенность и моноорбитальность
Автоморфизмы \(\langle\Z;<\rangle\) — это в точности сдвиги \(\alpha(x)=x+c\), \(c\in\Z\). Любое конечное
элементарное отображение \(f:A\to\Z\) сохраняет попарные расстояния (формула «ровно \(k\)» для каждого \(k\)),
значит \(f(a)-a\) — одна и та же константа для всех \(a\in A\): \(f\) — сужение сдвига, а сдвиг уже сам —
глобальный автоморфизм. Модель сильно \(\aleph_0\)-гомогенна без всякой трансфинитной рекурсии, и по
моноорбитальности каждый \(n\)-тип реализуется ровно одной орбитой \(\operatorname{Aut}(\langle\Z;<\rangle)\) —
их бесконечно много: по одной на каждое расстояние \(d\in\Z\) между парой точек.
\(\langle\R\setminus\{0\};<\rangle\) — гомогенность без сильной гомогенности
Отображение \(1\mapsto-1\) элементарно (в \(\mathrm{DLO}\) элементарность частичного отображения сводится
к сохранению порядка), и модель \(\aleph_0\)-гомогенна — любое конечное отображение продолжается на новую
точку. Но до автоморфизма \(1\mapsto-1\) не продолжается: щель в нуле — единственная незаполненная «дыра»,
автоморфизм обязан переводить щель в щель и потому не может поменять местами отрицательную и положительную
половины. Разрыв между гомогенностью и сильной гомогенностью — не педантизм в определениях, а
разные факты уже на этой счётной локальной проверке.
\(\Q\preccurlyeq\R\) — элементарная подмодель
\(\langle\Q;<\rangle\preccurlyeq\langle\R;<\rangle\) в теории \(\mathrm{DLO}\): любое уравнение с параметрами
из \(\Q\), разрешимое в \(\R\), разрешимо и в \(\Q\) — плотность рациональных гарантирует свидетеля. Отсюда
сразу \(\Q\equiv\R\), хотя \(|\Q|\ne|\R|\) и потому \(\Q\not\cong\R\) — иерархия «изоморфизм \(\Rightarrow\)
элементарное вложение \(\Rightarrow\) элементарная эквивалентность» строго убывает по силе уже на этой паре.